线性代数｜分块矩阵的运算规则

证明　设矩阵 $\mathbf{A}=(a_{ij})$，$\mathbf{B}=(b_{ij})$，令 $\mathbf{D}=(d_{ij})=\mathbf{A}\mathbf{B}$，显然 $\mathbf{D}$ 为 $m\times n$ 矩阵，则对任意 $i,j$，都有
$$d_{ij}=\sum _{k=1}^l{a}_{ik}{b}_{kj}i=1,2,\cdots ,m;j=1,2,\cdots ,n$$
设
$$\mathbf{C}=(c_{ij})=\left(\begin{array}{ccc}{\mathbf{C}}_{11}& \cdots & {\mathbf{C}}_{1r}\\ ⋮& & ⋮\\ {\mathbf{C}}_{s1}& \cdots & {\mathbf{C}}_{sr}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{\sum }_{k=1}^t{\mathbf{A}}_{1k}{\mathbf{B}}_{k1}& \cdots & {\sum }_{k=1}^t{\mathbf{A}}_{1k}{\mathbf{B}}_{kr}\\ ⋮& & ⋮\\ {\sum }_{k=1}^t{\mathbf{A}}_{sk}{\mathbf{B}}_{k1}& \cdots & {\sum }_{k=1}^t{\mathbf{A}}_{sk}{\mathbf{B}}_{kr}\end{array}\right)$$
要证明定理 3，只需要证明 $\mathbf{C}$ 等价于 $\mathbf{D}$。

（a）${\mathbf{C}}_{ij}={\sum }_{k=1}^t{\mathbf{A}}_{ik}{\mathbf{B}}_{kj}$ 是有意义的；即对任意 $k=1,2,\cdots ,t$，${\mathbf{A}}_{ik}{\mathbf{B}}_{kj}$ 都是有意义的，且互为同型矩阵，其行数为 ${\mathbf{A}}_{ik}$ 共同的行数，列数为所有 ${\mathbf{B}}_{kj}$ 共同的列数。

因为 ${\mathbf{A}}_{i1},{\mathbf{A}}_{i2},\cdots ,{\mathbf{A}}_{it}$ 的列数分别等于 ${\mathbf{B}}_{1j},{\mathbf{B}}_{2j},\cdots ,{\mathbf{B}}_{tj}$ 的行数，所以对任意 $k$，其对应的 ${\mathbf{A}}_{ik}{\mathbf{B}}_{kj}$ 都是有意义的。

因为对任意 $k$，${\mathbf{A}}_{ik}$ 均来自分块矩阵的第 $i$ 行，所以 ${\mathbf{A}}_{ik}$ 的行数是固定的，不妨设为 $m^{\prime }$；同理对任意 $k$，${\mathbf{B}}_{kj}$ 的列数是固定的，不妨设为 $n^{\prime }$。因此，对于任意 $k$，${\mathbf{A}}_{ik}{\mathbf{B}}_{kj}$ 均为 $m^{\prime }\times n^{\prime }$ 型矩阵，互为同型矩阵，其行数为所有 ${\mathbf{A}}_{ik}$ 共同的行数，列数为所有 ${\mathbf{B}}_{kj}$ 共同的列数。

（b）$\mathbf{C}$ 可以构成矩阵；即对任意 $i=1,2,\cdots ,s$，${\mathbf{C}}_{ij}$ 的列数相同；对任意 $j=1,2,\cdots ,r$，${\mathbf{C}}_{ij}$ 的行数相同。

根据（a）可知，${\mathbf{C}}_{ij}$ 为 $m^{\prime }\times n^{\prime }$ 型矩阵，其中 $m^{\prime }$ 是 ${\mathbf{A}}_{ik}$ 共同的行数，$n^{\prime }$ 是 ${\mathbf{B}}_{kj}$ 共同的列数。因此，当 $i$ 为定值时，$m^{\prime }$ 也为定值，于是 ${\mathbf{C}}_{ij}$ 的行数也是定值；当 $j$ 为定值时，$n^{\prime }$ 也是定值，于是 ${\mathbf{C}}_{ij}$ 的列数也是定值。

（c）$\mathbf{C}$ 与 $\mathbf{D}$ 为同型矩阵。

根据（b）可知，$\mathbf{C}$ 的行数为 ${\mathbf{C}}_{1j},{\mathbf{C}}_{2j},\cdots ,{\mathbf{C}}_{sj}$ 的行数之和。根据（a）可知，因为 ${\mathbf{C}}_{ij}$ 为 $m^{\prime }\times n^{\prime }$ 型矩阵，其中 $m^{\prime }$ 是 ${\mathbf{A}}_{ik}$ 共同的行数，所以 ${\mathbf{C}}_{1j},{\mathbf{C}}_{2j},\cdots ,{\mathbf{C}}_{sj}$ 的行数之和即 ${\mathbf{A}}_{1k},{\mathbf{A}}_{2k},\cdots ,{\mathbf{A}}_{sk}$ 的行数之和。因为 ${\mathbf{A}}_{ik}$ 来自分块矩阵 $\mathbf{A}$，所以 ${\mathbf{A}}_{1k},{\mathbf{A}}_{2k},\cdots ,{\mathbf{A}}_{sk}$ 的行数之和等于 $\mathbf{A}$ 分块前的行数 $m$。

同理可证 $\mathbf{C}$ 的列数等于 $\mathbf{B}$ 分块前的列数 $n$。

综上所述，$\mathbf{C}$ 与 $\mathbf{D}$ 均为 $m\times n$ 型矩阵，为同型矩阵。

（d）对于任意 $i=1,2,\cdots ,m;j=1,2,\cdots ,n$，均有 $c_{ij}=d_{ij}$。

不妨设 $c_{ij}$ 在 $\mathbf{C}$ 中所在的分块为 ${\mathbf{C}}_{i_1{j}_1}$，其中 $i_1=1,\cdots ,2;j_1=1,\cdots ,r$；不妨设 $c_{ij}$ 在分块 ${\mathbf{C}}_{{\mathbf{i}}_1{\mathbf{j}}_1}$ 中为第 $i_2$ 行的第 $j_2$ 个元素。于是有
$$c_{ij}=\sum _{k=1}^t{\left({\mathbf{A}}_{i_{1}k}{\mathbf{B}}_{k{j}_1}\right)}_{i_2{j}_2}\text{\hspace{1em}(3.1)}$$
根据（a）可知，对于任意 $k=1,2,\cdots ,t$，均有 ${\mathbf{A}}_{i_{1}k}$ 为 $m^{\prime }\times t_k^{\prime }$ 矩阵，${\mathbf{B}}_{k{j}_1}$ 为 $t_k^{\prime }\times n^{\prime }$ 矩阵。于是，上式 $(3.1)$ 可以写成
$$c_{ij}=\sum _{k=1}^t\sum _{k’=1}^{t_k^{\prime }}{{\mathbf{A}}_{i_{1}k}}_{(i_2,k^{\prime })}{{\mathbf{B}}_{k{j}_1}}_{(k^{\prime },j_2)}\text{\hspace{1em}(3.2)}$$
其中 ${{\mathbf{A}}_{i_{1}k}}_{(i_2,k^{\prime })}$ 表示分块 ${\mathbf{A}}_{i_{1}k}$ 的 $(i_2,k^{\prime })$ 元，${{\mathbf{B}}_{k{j}_1}}_{(k^{\prime },j_2)}$ 表示分块 ${\mathbf{B}}_{k{j}_1}$ 的 $(k^{\prime },j_2)$ 元。因为 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 均为分块矩阵，所以分块 ${\mathbf{A}}_{i_{1}k}$ 的 $(i_2,k^{\prime })$ 元为 $\mathbf{A}$ 分块前的第 $i$ 行，分块 ${\mathbf{B}}_{k{j}_1}$ 的 $(k^{\prime },j_2)$ 元为 $\mathbf{B}$ 分块前的第 $j$ 列。

又因为 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 均为分块矩阵，所以有 ${\sum }_{k=1}^t{t}_k^{\prime }=l$；且当 $k$ 取不同值时，无论 $k^{\prime }$ 取任何值，不同分块 ${\mathbf{A}}_{i_{1}k}$ 的 $(i_2,k^{\prime })$ 元均不可能取到 $\mathbf{A}$ 中的相同元素，不同分块 ${\mathbf{B}}_{k{j}_1}$ 的 $(k^{\prime },j_2)$ 元也不可能取到 $\mathbf{B}$ 中的相同元素。

于是式 $(3.2)$ 可以写成
$$c_{ij}=\sum _{k=1}^l{a}_{ik}{b}_{kj}=d_{ij}i=1,2,\cdots ,m;j=1,2,\cdots ,n$$
综上所述，$\mathbf{C}$ 等价于 $\mathbf{D}$，得证。