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- Sylvester降幂公式（特征多项式的降阶计算公式）
Sylvester降幂公式（特征多项式的降阶计算公式）
设
A
A
A 与
B
B
B 分别是
m
×
n
m\times n
m×n 与
n
×
m
n\times m
n×m 矩阵，
m
≥
n
m\geq n
m≥n. 则
∣
λ
I
m
−
A
B
∣
=
λ
m
−
n
∣
λ
I
n
−
B
A
∣
|\lambda I_m-AB|=\lambda^{m-n}|\lambda I_n-BA|
∣λIm−AB∣=λm−n∣λIn−BA∣
例： 设
u
u
u 是
n
n
n 维单位向量，求
n
n
n 阶实Householder矩阵
I
−
2
u
u
T
I-2uu^T
I−2uuT 的特征值及它的迹和行列式.
解： 由Sylvester降幂公式，
∣
λ
I
−
(
I
−
2
u
u
T
)
∣
=
∣
(
λ
−
1
)
I
+
2
u
u
T
∣
=
(
λ
−
1
)
n
−
1
∣
λ
−
1
+
2
u
T
u
∣
=
(
λ
−
1
)
n
−
1
(
λ
+
1
)
.
|\lambda I-(I-2uu^T)|=|(\lambda -1)I+2uu^T|=(\lambda-1)^{n-1}|\lambda-1 +2u^Tu|=(\lambda-1)^{n-1}(\lambda+1).
∣λI−(I−2uuT)∣=∣(λ−1)I+2uuT∣=(λ−1)n−1∣λ−1+2uTu∣=(λ−1)n−1(λ+1).
由此知，
λ
=
1
\lambda=1
λ=1 是
n
−
1
n-1
n−1 重根，而
λ
=
−
1
\lambda=-1
λ=−1 是
1
1
1 重根. 因此，
t
r
(
I
−
2
u
u
T
)
=
n
−
2
tr(I-2uu^T)=n-2
tr(I−2uuT)=n−2 ；
∣
I
−
2
u
u
T
∣
=
−
1.
|I-2uu^T|=-1.
∣I−2uuT∣=−1.
注：所有特征值之和是迹，所有特征值之积是行列式。
[参考资料]
百度文库：特征值与矩阵的Jordan标准型