在现代控制理论中：状态转移矩阵的特征值和系统的传递函数的极点相对应
O ( s ) = I ( s ) 1 s − a O(s)= I(s)\frac{1}{s-a} O(s)=I(s)s−a1
I ( s ) → 1 s − a → O ( s ) I(s) \rightarrow {\boxed{\frac{1}{s-a}}}\rightarrow O(s) I(s)→s−a1→O(s)
只有一个极点
s
O
(
s
)
=
a
O
(
s
)
+
I
(
s
)
sO(s)=aO(s)+I(s)
sO(s)=aO(s)+I(s)
对其进行拉普拉斯反变换
L
−
1
[
s
O
(
s
)
]
=
L
−
1
[
a
O
(
s
)
+
I
(
s
)
]
L^{-1} [sO(s)]= L^{-1} [aO(s)+I(s)]
L−1[sO(s)]=L−1[aO(s)+I(s)]
d
o
(
t
)
d
t
=
a
o
(
t
)
+
i
(
s
)
\frac{do(t)}{dt}=ao(t)+i(s)
dtdo(t)=ao(t)+i(s)
即
x
˙
=
a
x
+
i
\dot{x} =a x+i
x˙=ax+i
如果系数a是矩阵A呢
x ˙ = A x + i \dot{x} =A x+i x˙=Ax+i
L
[
x
˙
]
=
L
[
A
x
+
i
]
L[ \dot{x} ]=L[A x+i ]
L[x˙]=L[Ax+i]
s
O
(
s
)
=
A
^
O
(
s
)
+
I
(
s
)
sO(s)= \hat{A} O(s)+I(s)
sO(s)=A^O(s)+I(s)
G ( s ) = ( s I n ^ − A ^ ) − 1 G(s)=(s\hat{I_{n}}-\hat{A})^{-1} G(s)=(sIn^−A^)−1
基解由
e
a
t
→
e
A
^
t
e^{at} \rightarrow e^{\hat{A}t}
eat→eA^t
注：在微分方程的特征根法中由于想利用指数函数的特殊性质也用到了这个形式，“延拓”版的指数函数
矩阵函数由级数和定义：
e
A
^
t
=
∑
k
=
0
∞
t
k
A
^
k
k
！
e^{\hat{A}t}=\sum^{\infty }_{k=0}\frac{t^k\hat{A}^k}{k！}
eA^t=k=0∑∞k！tkA^k
L
[
t
k
k
！
]
=
1
s
k
+
1
L[\frac{t^k}{k！}]=\frac{1}{s^{k+1}}
L[k！tk]=sk+11
L
[
e
A
^
t
]
=
∑
k
=
0
∞
A
k
s
k
+
1
(
等
比
数
列
求
和
)
=
I
s
I
−
A
^
s
=
(
s
I
−
A
^
)
−
1
L[ e^{\hat{A}t}]=\sum^{\infty }_{k=0}\frac{A^k}{s^{k+1}}(等比数列求和)=\frac{ \frac{I}{s}}{I-\frac{\hat{A}}{s}}=(sI-\hat{A})^{-1}
L[eA^t]=k=0∑∞sk+1Ak(等比数列求和)=I−sA^sI=(sI−A^)−1
综上：
矩阵拉函数普拉斯变换的极点与特征值相对应