线性代数学习笔记（十四）——分块矩阵

本篇笔记首先介绍了分块矩阵的概念，并介绍了按行或按列进行分块的两种常见分块方式，还讨论了矩阵标准形的主要基本特征，然后重点讨论了分块矩阵的几种运算，包括分块矩阵的和、差、数乘和乘积，以及对角型分块矩阵、三角分块矩阵和下三角分块矩阵的和、差、数乘和乘积，最后还介绍了分块矩阵转置和求逆的运算。

1 基本概念

在计算或证明时为了方便，将矩阵进行分块。

定义：将一个矩阵用若干条横线和竖线分成许多个小矩阵，将每个小矩阵称为这个矩阵的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。——百度百科

[ 1 1 3 4 ∣ 0 − − − − − − 2 0 1 1 ∣ 0 1 1 1 1 ∣ 3 4 1 1 1 ∣ 0 ] = [ A 1 A 2 A 3 A 4 ] [1134|0−−−−−−2011|01111|34111|0]

=[A1A2A3A4]

⎣⎢⎢⎢⎢⎡​1−214​1−011​3−111​4−111​∣−∣∣∣​0−030​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​=[A1​A3​​A2​A4​​]

根据实际做题的方便性和需要灵活分块。

以下是错误分法：
[ 1 ∣ 1 3 ∣ 4 0 ∣ − − − 2 ∣ 0 1 1 0 − − − − − 1 1 ∣ 1 1 ∣ 3 − − − − − 4 ∣ 1 1 ∣ 1 0 ] [1|13|40|−−−2|0110−−−−−11|11|3−−−−−4|11|10]

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​1214​∣∣∣−1−∣​10−∣−1​31−11​∣−−1−∣​4−1−∣−1​0−03−0​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​

要求：不管横线还是竖线，需要一气到头。

如果分块数量比较多，也可以使用以下方式表示：
[ A 11 A 12 A 21 A 22 ] [A11A12A21A22]

[A11​A21​​A12​A22​​]

2 两种常见的分块

2.1 按行分块

将每行进行分块。

[ 1 2 3 − − − 1 1 1 − − − 1 4 4 ] = [ A 1 A 2 A 3 ] [123−−−111−−−144]

=[A1A2A3]

⎣⎢⎢⎢⎢⎡​1−1−1​2−1−4​3−1−4​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​=⎣⎡​A1​A2​A3​​⎦⎤​

每一行构成一个列向量，向量将在后续章节介绍。
( α 1 α 2 α 3 ) (α1α2α3)

⎝⎛​α1​α2​α3​​⎠⎞​

2.2 按列分块

将第列进行分块。

[ 1 ∣ 2 ∣ 3 1 ∣ 1 ∣ 1 1 ∣ 4 ∣ 4 ] = [ B 1 B 2 B 3 ] [1|2|31|1|11|4|4]

=[B1B2B3]

⎣⎡​111​∣∣∣​214​∣∣∣​314​⎦⎤​=[B1​​B2​​B3​​]

每一列构成一个行向量，向量将在后续章节介绍。
( β 1 β 2 β 3 ) (β1β2β3)

(β1​​β2​​β3​​)

3 标准形

D = [ 1 ⋱ 1 0 ⋱ 0 ] m × n D=[1⋱10⋱0]

_{m{\times}n} D=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​1​⋱​1​0​⋱​0​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​m×n​

最主要特征：从左上角开始一串连续的$1$，其余地方均为$0$。标准形不一定是方的。

判断以下矩不是准形：
[ 1 1 0 ] 是 [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 ] 是 [ 1 1 1 1 ] [110]

是\qquad[100001000010]

是\qquad[1111]

⎣⎡​1​1​0​⎦⎤​是⎣⎡​100​010​001​000​⎦⎤​是⎣⎢⎢⎡​1​1​1​1​⎦⎥⎥⎤​是

[ 0 1 1 ] 不 是 [ 1 1 0 1 ] 不 是 [ 0 0 0 ] [011]

不是\qquad[1101]

不是\qquad[000]

⎣⎡​0​1​1​⎦⎤​不是⎣⎢⎢⎡​1​1​0​1​⎦⎥⎥⎤​不是⎣⎡​0​0​0​⎦⎤​是

可以对标准形进行分块：
D = [ 1 ∣ ⋱ ∣ 1 ∣ − − − + − − − ∣ 0 ∣ ⋱ ∣ 0 ] m × n = [ E r O r × ( n − r ) O ( m − r ) × r O ( n − r ) × ( n − r ) ] D=[1|⋱|1|−−−+−−−|0|⋱|0]

_{m{\times}n}=[ErOr×(n−r)O(m−r)×rO(n−r)×(n−r)]

D=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​1−​⋱−​1−​∣∣∣+∣∣∣​−0​−⋱​−0​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​m×n​=[Er​O(m−r)×r​​Or×(n−r)​O(n−r)×(n−r)​​]

4 分块矩阵的运算

4.1 分块矩阵的和、差、数乘和乘积

① 分块矩阵加法（和减法）

[ A 1 A 2 A 3 A 4 ] + [ B 1 B 2 B 3 B 4 ] = [ A 1 + B 1 A 2 + B 2 A 3 + B 3 A 4 + B 4 ] [A1A2A3A4]

+[B1B2B3B4]

=[A1+B1A2+B2A3+B3A4+B4]

[A1​A3​​A2​A4​​]+[B1​B3​​B2​B4​​]=[A1​+B1​A3​+B3​​A2​+B2​A4​+B4​​]

对应块分别相加，但需要确保对应块的形状保持一致。

② 数乘以分块矩阵

k [ A 1 A 2 A 3 A 4 ] = [ k A 1 k A 2 k A 3 k A 4 ] k[A1A2A3A4]

=[kA1kA2kA3kA4]

k[A1​A3​​A2​A4​​]=[kA1​kA3​​kA2​kA4​​]

用这个数分别乘以矩阵的每一个子块。

③ 分块矩阵乘法

[ A 1 A 2 A 3 A 4 ] [ B 1 B 2 B 3 B 4 ] = [ A 1 B 1 + A 2 B 3 A 1 B 2 + A 2 B 4 A 3 B 1 + A 4 B 3 A 3 B 2 + A 4 B 4 ] [A1A2A3A4]

[B1B2B3B4]

=[A1B1+A2B3A1B2+A2B4A3B1+A4B3A3B2+A4B4]

[A1​A3​​A2​A4​​][B1​B3​​B2​B4​​]=[A1​B1​+A2​B3​A3​B1​+A4​B3​​A1​B2​+A2​B4​A3​B2​+A4​B4​​]

将分块看成元素，即第一个矩阵行块与第二个矩阵列块对应先相乘再相加；
然后再对每个子块进行相乘。

分块矩阵能够相乘的前提条件：子块$A_{ik}$与$B_{kj}$可乘。

例4：矩阵$A$为$m\times n$阶，矩阵$B$为$n\times s$阶，且 B = [ B 1 B 2 ⋯ B t ] B=[B1B2⋯Bt]

B=[B1​​B2​​⋯​Bt​​]，求$AB$。
解：显然，$A$和$B$的每一个子块都可乘。
$AB=A\left[\begin{array}{cccc}{B}_1& B_2& \cdots & B_t\end{array}\right]$
$=\left[\begin{array}{cccc}A{B}_1& A{B}_2& \cdots & A{B}_t\end{array}\right]$
错误理解：将外面的$A$看作一个数直接乘进去；
正确理解：将$A$看作只有一个块的分块矩阵。

4.2 几种分块矩阵

4.2.1 对角型分块矩阵

[ A 1 A 2 ⋱ A t ] [A1A2⋱At]

⎣⎢⎢⎡​A1​​A2​​⋱​At​​⎦⎥⎥⎤​

只有主对角线上有不为零的块。

例5：已知对角型分块矩阵 A = [ A 1 A 2 ⋱ A k ] A=[A1A2⋱Ak]

A=⎣⎢⎢⎡​A1​​A2​​⋱​Ak​​⎦⎥⎥⎤​和$B=\left[\begin{array}{cccc}{B}_1& & & \\ & B_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & B_k\end{array}\right]$，并且每个子块都是同阶方阵，求$AB$和$A+B$。
解：$AB=\left[\begin{array}{cccc}{A}_1& & & \\ & A_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & A_k\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}{B}_1& & & \\ & B_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & B_k\end{array}\right]$
$=\left[\begin{array}{cccc}{A}_1{B}_1& & & \\ & A_2{B}_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & A_k{B}_k\end{array}\right]$

A + B = [ A 1 A 2 ⋱ A k ] + [ B 1 B 2 ⋱ B k ] A+B=[A1A2⋱Ak]

+[B1B2⋱Bk]

A+B=⎣⎢⎢⎡​A1​​A2​​⋱​Ak​​⎦⎥⎥⎤​+⎣⎢⎢⎡​B1​​B2​​⋱​Bk​​⎦⎥⎥⎤​
$=\left[\begin{array}{cccc}{A}_1+B_1& & & \\ & A_2+B_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & A_k+B_k\end{array}\right]$

4.2.2 上三角和下三角分块矩阵

类似地，可以定义上三角分块矩阵和下三角分块矩阵。

容易证明：同型的对角型分块矩阵、三角分块矩阵和下三角分块矩阵的和、差、数乘和乘积仍然是对角型分块矩阵、三角分块矩阵或下三角分块矩阵。

4.3 分块矩阵转置

④ 分块矩阵转置
A = [ A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 ] A=[A1A2A3A4A5A6]

A=[A1​A4​​A2​A5​​A3​A6​​]

(1) 把子块看作普通元素求转置；
(2) 对每个子块求转置。

A T = [ A 1 T A 4 T A 2 T A 5 T A 3 T A 6 T ] A^T=[AT1AT4AT2AT5AT3AT6]

AT=⎣⎡​A1T​A2T​A3T​​A4T​A5T​A6T​​⎦⎤​

4.4 分块矩阵求逆

$\star$ 例6：假设 H = [ A C O B ] H=[ACOB]

H=[AO​CB​]是分块矩阵，并且$A$和$B$分别为$m$阶和$n$阶的可逆矩阵，试验证$H$可逆，并求$H$的逆矩阵。

分析：由题意可知：$A$为$m$阶的可逆方阵，$B$为$n$阶的可逆方阵，所以$C$为$m\times n$阶，$O$为$n\times m$阶。

证：行列式 ∣ H ∣ = ∣ A C O B ∣ = ∣ A ∣ ⋅ ∣ B ∣ |H|=|ACOB|

=|A|\cdot|B| ∣H∣=∣∣∣∣​AO​CB​∣∣∣∣​=∣A∣⋅∣B∣

错误理解：$=|AB-OC|=|A|\cdot |B|$
正确理解：使用拉普拉斯展开定理，取定后$n$行展开，所以只能取后$n$列得到的子式不为零（因为取到前面的列得到的子式都等于零），即要以理解为按子式$|B|$展开，余子式为$|A|$，故其值为：
$=|B|(-1{)}^{行标+列标}|A|$
$=|B|(-1{)}^{[(m+1)+(m+2)+...+(m+n)]+[(m+1)+(m+2)+...+(m+n)]}|A|$
$=|B|(-1{)}^{2[(m+1)+(m+2)+...+(m+n)]}|A|$
$=|A||B|$

又因为$A$和$B$均可逆，故$|A|\ne 0$且$|B|\ne 0$，
即：$|A|\cdot |B|\ne 0$，
所以：$H$可逆。

假设： H − 1 = [ X 1 X 3 X 4 X 2 ] H^{-1}=[X1X3X4X2]

H−1=[X1​X4​​X3​X2​​]

所以： H H − 1 = ∣ A C O B ∣ [ X 1 X 3 X 4 X 2 ] HH^{-1}=|ACOB|

[X1X3X4X2]

HH−1=∣∣∣∣​AO​CB​∣∣∣∣​[X1​X4​​X3​X2​​]

= [ A X 1 + C X 4 A X 3 + C X 2 B X 4 B X 2 ] = [ E O O E ] =[AX1+CX4AX3+CX2BX4BX2]

=[EOOE]

=[AX1​+CX4​BX4​​AX3​+CX2​BX2​​]=[EO​OE​]

所以： { A X 1 + C X 4 = E A X 3 + C X 2 = O B X 4 = O B X 2 = E {AX1+CX4=EAX3+CX2=OBX4=OBX2=E

⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​AX1​+CX4​=EAX3​+CX2​=OBX4​=OBX2​=E​

错误理解：$\xcancel{⟹}B=O或X_4=O$；
正确做法：因为$B$可逆，所以$B^{-1}B{X}_4=B^{-1}O$，所以$X_4=O$。

错误理解：因为$B{X}_2=E$，所以$X_2=\frac{E}{B}$；
正确做法：根据逆矩阵推论，因为$B{X}_2=E$，所以$X_2=B^{-1}$。

同理，将$X_4=O$代入$A{X}_1+C{X}_4=E$可求出：$X_1=A^{-1}$，

将$X_2=B^{-1}$代入$A{X}_3+C{X}_2=O$，得$A{X}_3=-C{B}^{-1}$，故$X_3=-A^{-1}C{B}^{-1}$。

所以： H − 1 = [ A − 1 − A − 1 C B − 1 O B − 1 ] \color{red}{H^{-1}=[A−1−A−1CB−1OB−1]

} H−1=[A−1O​−A−1CB−1B−1​]

练习：假设 H = [ A O C B ] H=[AOCB]

H=[AC​OB​]是分块矩阵，并且$A$和$B$分别为$m$阶和$n$阶的可逆矩阵，试验证$H$可逆，并求$H$的逆矩阵。
结论：$H^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{A}^{-1}& O\\ -B^{-1}C{A}^{-1}& B^{-1}\end{array}\right]$
证明：略。

推论：若$A$和$B$均可逆，则 [ A B ] − 1 = [ A − 1 B − 1 ] \color{red}{[AB]

^{-1}=[A−1B−1]

} [A​B​]−1=[A−1​B−1​]。

可以进行推广：若$A_1$、$A_2$ … $A_s$均可逆，
则 [ A 1 A 2 ⋱ B s ] − 1 = [ A 1 − 1 A 2 − 1 ⋱ B s − 1 ] \color{red}{[A1A2⋱Bs]

^{-1}=[A−11A−12⋱B−1s]

} ⎣⎢⎢⎡​A1​​A2​​⋱​Bs​​⎦⎥⎥⎤​−1=⎣⎢⎢⎡​A1−1​​A2−1​​⋱​Bs−1​​⎦⎥⎥⎤​。

5 引用

《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列 宋浩老师_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili_2.5 分块矩阵