上一节讲解了伴随矩阵和逆矩阵,本章将学习并了解矩阵的初等变换。
矩阵的初等变换
一、矩阵初等变换的含义
1.矩阵的初等变换
(1)第一种变换:交换两行元素的位置;
(2)第二种交换:把某行元素乘以同一个非零常数;
(3)第三种交换:把某一行的元素k倍加到零一行;
二、初等矩阵
1.初等矩阵的定义与类型:单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵
(1)交换单位阵的第i,j行;交换单位阵i,j列;
第一种初等矩阵的记号Eij,单位矩阵E,交换第i,j行,交换第i,j列两种方式得到的初等矩阵一样。
(2)单位阵的第i行乘以非零常数k;单位阵的第i列乘以非零常数k;
第二种初等矩阵的记号Ei(k),单位阵E第i行元素乘以k,第i列元素乘以k,两种方式得到的初等矩阵一样。
(3)单位阵的第i行乘以k加到第j行;
第三种初等矩阵的记号Eij(k):单位阵E
第i行乘以k加到第j列,第i列乘以k加到第j列,两种方式得到的初等矩阵不一样;
第i行乘以k加到第j列,第j列乘以k加到第i列,两种方式得到的初等矩阵一样;
用Eij(k)表示单位阵E的第i行乘以k到第j行,那么这个符号也可以表示单位阵E的第j列乘以k加到第i列;
2.初等矩阵与初等变换的关系(左行右列)
Eij Am x n : 相当于交换A的第i行和第j行元素;
Am x n Eij :相当于交换A 的第i列和第j列元素;
Ei(k) Am x n:相当于将A的第i行元素乘以非零常数k;
Am x n Ei(k):相当于将A的第i列元素乘以非零常数k;
Eij(k) Am x n:相当于将A的第i行元素乘以非零常数k加到第j行;
Am x n Eij(k):相当于将A的第j列元素乘以非零常数k加到第i列;(需要注意)
3.初等矩阵的常用公式
(1)初等矩阵的行列式
|Eij| = -1(使用的是行列的交换变号性质);
|Ei(k) = k(使用的是行列式公因子提取);
|Eij(k)| = 1(使用的是行列式倍加不变性质);
(2)初等矩阵的转置矩阵
Eij^T = Eij;
Ei(k)^T = Ei(k);
Eij(k)^T = Eji(k);
(3)初等矩阵的逆矩阵
Eij^-1 = Eij;
Ei(k)^-1 = Ei(1/k);
Eij(k)^-1 = Eij(-k);
整个总结下来,只需要了解以下什么是初等矩阵,以及初等变换即可。
下面是我的笔记截图: