机器学习--高等数学篇--线性代数篇04--矩阵03(完)

时间:2024-06-03 08:12:26

上一节讲解了伴随矩阵和逆矩阵,本章将学习并了解矩阵的初等变换。

矩阵的初等变换

一、矩阵初等变换的含义

1.矩阵的初等变换

(1)第一种变换:交换两行元素的位置;

(2)第二种交换:把某行元素乘以同一个非零常数;

(3)第三种交换:把某一行的元素k倍加到零一行;

二、初等矩阵

1.初等矩阵的定义与类型:单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵

(1)交换单位阵的第i,j行;交换单位阵i,j列;

第一种初等矩阵的记号Eij,单位矩阵E,交换第i,j行,交换第i,j列两种方式得到的初等矩阵一样。

(2)单位阵的第i行乘以非零常数k;单位阵的第i列乘以非零常数k;

第二种初等矩阵的记号Ei(k),单位阵E第i行元素乘以k,第i列元素乘以k,两种方式得到的初等矩阵一样。

(3)单位阵的第i行乘以k加到第j行;

第三种初等矩阵的记号Eij(k):单位阵E

第i行乘以k加到第j列,第i列乘以k加到第j列,两种方式得到的初等矩阵不一样;

第i行乘以k加到第j列,第j列乘以k加到第i列,两种方式得到的初等矩阵一样;

用Eij(k)表示单位阵E的第i行乘以k到第j行,那么这个符号也可以表示单位阵E的第j列乘以k加到第i列;

2.初等矩阵与初等变换的关系(左行右列)

Eij Am x n : 相当于交换A的第i行和第j行元素;

Am x n Eij :相当于交换A 的第i列和第j列元素;

Ei(k) Am x n:相当于将A的第i行元素乘以非零常数k;

Am x n Ei(k):相当于将A的第i列元素乘以非零常数k;

Eij(k) Am x n:相当于将A的第i行元素乘以非零常数k加到第j行;

Am x n Eij(k):相当于将A的第j列元素乘以非零常数k加到第i列;(需要注意

3.初等矩阵的常用公式

(1)初等矩阵的行列式

|Eij| = -1(使用的是行列的交换变号性质);

|Ei(k) = k(使用的是行列式公因子提取);

|Eij(k)| = 1(使用的是行列式倍加不变性质);

(2)初等矩阵的转置矩阵

Eij^T = Eij;

Ei(k)^T = Ei(k);

Eij(k)^T = Eji(k);

(3)初等矩阵的逆矩阵

Eij^-1 = Eij;

Ei(k)^-1 = Ei(1/k);

Eij(k)^-1 = Eij(-k);

整个总结下来,只需要了解以下什么是初等矩阵,以及初等变换即可。

下面是我的笔记截图:

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