上一节讲解了伴随矩阵和逆矩阵，本章将学习并了解矩阵的初等变换。
矩阵的初等变换
一、矩阵初等变换的含义
1.矩阵的初等变换
（1）第一种变换：交换两行元素的位置；
（2）第二种交换：把某行元素乘以同一个非零常数；
（3）第三种交换：把某一行的元素k倍加到零一行；
二、初等矩阵
1.初等矩阵的定义与类型：单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵
（1）交换单位阵的第i，j行；交换单位阵i，j列；
第一种初等矩阵的记号Eij，单位矩阵E，交换第i，j行，交换第i，j列两种方式得到的初等矩阵一样。
（2）单位阵的第i行乘以非零常数k；单位阵的第i列乘以非零常数k；
第二种初等矩阵的记号Ei(k)，单位阵E第i行元素乘以k，第i列元素乘以k，两种方式得到的初等矩阵一样。
（3）单位阵的第i行乘以k加到第j行；
第三种初等矩阵的记号Eij(k)：单位阵E
第i行乘以k加到第j列，第i列乘以k加到第j列，两种方式得到的初等矩阵不一样；
第i行乘以k加到第j列，第j列乘以k加到第i列，两种方式得到的初等矩阵一样；
用Eij(k)表示单位阵E的第i行乘以k到第j行，那么这个符号也可以表示单位阵E的第j列乘以k加到第i列；
2.初等矩阵与初等变换的关系（左行右列）
Eij Am x n ： 相当于交换A的第i行和第j行元素；
Am x n Eij ：相当于交换A 的第i列和第j列元素；
Ei(k) Am x n：相当于将A的第i行元素乘以非零常数k；
Am x n Ei(k)：相当于将A的第i列元素乘以非零常数k；
Eij(k) Am x n：相当于将A的第i行元素乘以非零常数k加到第j行；
Am x n Eij(k)：相当于将A的第j列元素乘以非零常数k加到第i列；（需要注意）
3.初等矩阵的常用公式
（1）初等矩阵的行列式
|Eij| = -1（使用的是行列的交换变号性质）；
|Ei(k) = k（使用的是行列式公因子提取）；
|Eij(k)| = 1（使用的是行列式倍加不变性质）；
（2）初等矩阵的转置矩阵
Eij^T = Eij；
Ei(k)^T = Ei(k)；
Eij(k)^T = Eji(k)；
（3）初等矩阵的逆矩阵
Eij^-1 = Eij；
Ei(k)^-1 = Ei(1/k)；
Eij(k)^-1 = Eij(-k)；
整个总结下来，只需要了解以下什么是初等矩阵，以及初等变换即可。
下面是我的笔记截图：
