张量及张量积的概念

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今日阅读论文《Observer-Based Event-Triggered Consensus Control of Two-Layer Networks with Switching Topologies》，见运算符（ $\otimes$ ），只觉眼熟，一知半解，遂查阅。

###协变与反变
从线性空间 $\mathbf{V}$ 和其对偶空间 $\mathbf{V}^{*}$ 谈起, 首先介绍张量理论中协变与反变理论。

定义线性空间上的线性函数。设 $V$ 是一个线性空间，映射 $\rightarrow \mathbb{R}$ , 满足

$f (x + y) = f (x) + f (y);$
$f (k x) = k f (x)$ .
则称 $f$ 是 $V$ 上的一个线性函数。
进一步地，将 $V$ 上的全体线性函数看作是一个集合，并且定义线性函数的加法和数量乘法
$(f + g) (x) = f (x) + g (x)$ ;
$(k f) (x) = k f (x)$ .
于是可以自行验证，这样的集合构成了一个线性空间，称它为 $V$ 的对偶空间，记为 $V^{*}$ .

称 $V^{*} \rightarrow \mathbb{R}$ 的映射为 $V$ 的一个反变，称 $\rightarrow \mathbb{R}$ 的映射为 $V$ 的一个协变。按照上面的观点，空间 $V$ 的反变就是它自己所属的向量，空间 $V$ 的协变就是 $V^{*}$ 所属的向量。
###多重线性函数
将线性空间上的线性函数概念做适当的推广。

设 $V_{1}, V_{2}, \cdots, V_{p}$ 分别是一个线性空间，它们的维数分别是 $n_{1}, n_{2}, \cdots, n_{p}$ , 映射 $V_{1} \times V_{2} \times \cdots \times V_{p} \rightarrow \mathbb{R}$ 满足

$f(\cdots, u+v, \cdots)=f(\cdots, u, \cdots)+f(\cdots, v, \cdots) ;$
$f(\cdots, \lambda u, \cdots)=\lambda f(\cdots, u \cdots)$ .
则称 $f$ 是 $V_{1} \times V_{2} \times \cdots \times V_{p}$ 上的一个 $p$ 重线性函数。
将 $V_{1} \times V_{2} \times \cdots \times V_{p}$ 上的全体 $p$ 重线性函数构成的集合记为 $\mathscr{L}\left(V_{1}, \cdots, V_{p} ; \mathbb{R}\right)$ , 特别地，对偶空间 $V^{*}$ 就是关于空间 $V$ 的 $\mathscr{L}(V ; \mathbb{R})$ .

在有关对偶空间的讨论中，我们指出关于空间 $V$ 的基 $\left\{e_{1}, \cdots, e_{n}\right\}$ , 相应的对偶空间 $V^{*}$ 的对偶基是 $\left\{r_{1}, \cdots, r_{n}\right\}$ ，其中 $r_{1}$ 将 $e_{1}$ 映成 1, 将 $e_{2}, \cdots, e_{n}$ 映成零，以此类推。
作为推广，在集合 $\mathscr{L}\left(V_{1}, \cdots, V_{p} ; \mathbb{R}\right)$ 中取出 $n_{1} n_{2} \cdots n_{p}$ 个元素 $\left\{r_{i_{1}, i_{2}, \cdots, i_{p}}\right\}$ , 其中满足 $i_{j} \in\left\{1, \cdots, n_{i}\right\}$ , 元素 $r_{i_{1}, i_{2}, \cdots, i_{p}}$ 将多重基向量 $\left(e_{1 ; i_{1}}, \cdots, e_{p ; i_{p}}\right)$ 映成 1, 这里取空间 $V_{k}$ 的基是 $\left\{e_{k ; 1}, \cdots, e_{k ; n}\right\}$ , 将其它多重基向量映成零，于是这 $n_{1} n_{2} \cdots n_{p}$ 个元素线性无关，且对于任意 $\in \mathscr{L}\left(V_{1}, \cdots, V_{p} ; \mathbb{R}\right)$ , 存在 $n_{1} n_{2} \cdots n_{p}$ 个实数，使得
$f=\sum_{i_{1}=1}^{n_{1}} \cdots \sum_{i_{p}=1}^{n_{p}} k_{i_{1}}, \cdots, i_{p} r_{i_{1}, i_{2}, \cdots, i_{p}}$
所以说，集合 $\mathscr{L}\left(V_{1}, \cdots, V_{p} ; \mathbb{R}\right)$ 是一个 $n_{1} n_{2} \cdots n_{p}$ 维线性空间。

例：以欧氏空间（其特征是具有内积运算）为例，说明建立多重线性空间概念的价值。
设 $x, y$ 分别是一个 $n$ 维欧式空间上的向量，则
$\cdot y=\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}$
其中 $x_{i}, y_{i}$ 分别是 $x, y$ 的坐标分量。你会发现，这种对向量做内积的运算就是关于欧式空间的一个二重线性函数
$y)=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} k_{i, j} r_{i, j}(x, y)$
只不过它相当简单，其中的多重坐标分量可以用一个矩阵表示，并且它恰好是一个单位矩阵。

###张量的定义

张量的定义:
对于线性空间 $V$ , 构造一个 $p + q$ 重线性函数 $f:\left(V^{*}\right)^{p} \times V^{q} \rightarrow \mathbb{R}$ 则称 $f$ 是 $V$ 上的一个 $(p, q)$ 型张量，或者一个 $p + q$ 阶张量，称 $p$ 为 $f$ 的反变阶数，称 $q$ 为 $f$ 的协变阶数。特别地，空间 $V$ 自身的元素就是 $V$ 上的一个 $(1, 0)$ 型张量，空间 $V$ 的对偶空间 $V^{*}$ 上的元素就是 $V$ 上的一个 $(0, 1)$ 型张量。这说明一阶张量就是我们以往所说的向量。称 $V$ 上的 $(p, 0)$ 型张量为 $p$ 阶反变张量，称 $V$ 上的 $(0, q)$ 型张量为 $q$ 阶协变张量。

采取张量的观点看待欧式空间上的内积。取单位正交基 $e_{1}=(1,0, \cdots, 0), \cdots, e_{n}=(0, \cdots, 0,1)$ ,
另取两个向量
$x=\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right), \quad y=\left(y_{1}, \cdots, y_{n}\right)$
做标准内积运算
$\cdot y=\sum_{j_{1}=1}^{n} \sum_{j_{2}=1}^{n} x_{j_{1}} y_{j_{2}} e_{j_{1}} \cdot e_{j_{2}}$
其中
$e_{j_{1}} \cdot e_{j_{2}}= \begin{cases}1, & j_{1}=j_{2} \\ 0, & j_{1} \neq j_{2}\end{cases}$
可以看出标准内积运算是欧式空间上的一个二阶协变张量
$f=\sum_{j_{1}=1}^{n} \sum_{j_{2}=1}^{n} k_{j_{1}, j_{2}} f_{j_{1}, j_{2}}$
其中的分量 $k_{j_{1}, j_{2}}$ 构成单位矩阵。
而在线性代数课上讨论的 $n$ 维空间 $V$ 上的线性变换
$f (x) = A x$
其中 $A$ 是一个 $n$ 级方阵，是一个 $(1, 1)$ 型张量，相应的分量 $k_{i, j}$ 就是方阵 $A$ 的分量。这两个例子说明，以前用方阵表达的那些事物，可以被看作是二阶张量。
综上，可以直观地把 $r$ 阶张量看作是 $r$ 维的方阵。

张量积

设 $f, g$ 分别是一个 $s, t$ 重线性函数，则 $f$ 与 $g$ 的张量积定义为
$\begin{aligned} &(f \otimes g)\left(x_{1}, \cdots, x_{s}, y_{1}, \cdots, y_{t}\right) \\ &=f\left(x_{1}, \cdots, x_{s}\right) g\left(y_{1}, \cdots, y_{t}\right) \end{aligned}$
这里的 $x_{i}, y_{j}$ 是向量。于是 $\otimes g$ 是一个 $s + t$ 重线性函数。容易看出张量积的结合律，也就是说你可以写 $\otimes g \otimes h$ 而不必添加括号。我们给出线性空间的张量积。设 $U, V$ 分别是一个 $m, n$ 维线性空间，取 $\in U, v \in V$ , 则 $u, v$ 可以分别看作是 $U^{*}, V^{*}$ 上的线性函数，于是 $\otimes v$ 有意义。
定义 $\otimes V=\{u \otimes v: v \in U \wedge v \in V\}$ ，于是 $\otimes V$ 成为一个二重线性空间，也是一个 $m n$ 维线性空间。
###张量积的运算
张量积:
$\otimes B=\left[\begin{array}{ccc} a_{11} B & \ldots & a_{1 n} B \\ \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{m 1} B & \ldots & a_{m m} B \end{array}\right]_{m \times p, n \times q}$
张量积性质:
(1)右进法则:
$\left[\begin{array}{ll} A & B \\ C & D \end{array}\right] \otimes E=\left[\begin{array}{ll} A \otimes E & B \otimes E \\ C \otimes E & D \otimes E \end{array}\right]$
(2) 左进法则不成立
(3)吸收公式: $\left(A_{1} \otimes B_{1}\right)\left(A_{2} \otimes B_{2}\right)=\left(A_{1} A_{2} \otimes B_{1} B_{2}\right)$
$\begin{aligned} &\text { (4) }(A \otimes B)^{H}=A^{H} \otimes B^{H} \\ &\text { (5) }(A \otimes B)^{+}=A^{+} \otimes B^{+} \\ &\text {(6) }(A \otimes B)^{-1}=A^{-1} \otimes B^{-1} \\ &\text { (7) } A=A_{m \times m}, B=B_{n \times n}, \operatorname{tr}(A \otimes B)=\operatorname{tr}(A) \operatorname{tr}(B) \\ &\text { (8) } A=A_{m \times m}, B=B_{n \times n}, \operatorname{det}(A \otimes B)=\operatorname{det}(A)^{n} \operatorname{det}(B)^{m} \end{aligned}$
张量积的用法:
(1)求广义逆:
(i)
$\left[\begin{array}{ll} A & 0 \end{array}\right]^{+}=\left(\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \end{array}\right] \otimes A\right)^{+}=\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \end{array}\right]^{+} \otimes A^{+}=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}\right] \otimes A^{+}=\left[\begin{array}{c} A^{+} \\ 0 \end{array}\right]$
参考：
1、/p/137468781
2、/p/136911724
3、/p/146683399
4、/p/148258749?ivk_sa=1024320u
5、/codeDog123/p/

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张量及张量积的概念

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张量积

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