旋转矩阵和变换矩阵

本文基本上是看着《视觉SLAM十四讲》第三章的部分内容写了一遍，加深自己的理解。

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点和向量，坐标系

以三维空间为例，一个空间点的位置可以用三个坐标来表示，而对于一个刚体而言，除了在空间的位置，还有自身的姿态，合称为“位姿”。

向量是什么?
向量是空间中的一种元素，既有大小，也有方向。有几种表示方式：
代数表示：字母加粗或者字母上加箭头（ a⃗  或者 a ）
几何表示：用一个箭头（线段长度代表向量的大小）
坐标表示：在坐标系中，用坐标可以表示向量，终点坐标-起点坐标

例子： a=[e1,e2,e3]⎡⎣⎢a1a2a3⎤⎦⎥=a1e1+a2e2+a3e3

坐标系间的欧式变换

坐标系之间变换可以用两个坐标系之间的旋转和平移关系来表示。
设定一个惯性坐标系（世界坐标系），认为是固定不动的。
机器人坐标系（相机坐标系），认为相机固定在机器人上。

现在假设一个向量，在世界坐标系下，有：

a=[e1,e2,e3]⎡⎣⎢a1a2a3⎤⎦⎥

在相机坐标系中，有：

a=[e,1,e,2,e,3]⎡⎣⎢a,1a,2a,3⎤⎦⎥

即

[e1,e2,e3]⎡⎣⎢a1a2a3⎤⎦⎥=[e,1,e,2,e,3]⎡⎣⎢a,1a,2a,3⎤⎦⎥

等式两边同时左乘 ⎡⎣⎢⎢eT1eT2eT3⎤⎦⎥⎥

得到
⎡⎣⎢a1a2a3⎤⎦⎥=⎡⎣⎢⎢eT1e,1eT2e,1eT3e,1eT1e,2eT2e,2eT3e,2eT1e,3eT2e,3eT3e,3⎤⎦⎥⎥⎡⎣⎢e,1e,2e,3⎤⎦⎥=Ra,

所以，这个矩阵R就称为旋转矩阵。
a=Ra, ，R描述了从相机坐标系旋转到世界坐标系。
如果把平移也考虑上，那么我们可以有这么一个式子：
a,=Ra+t
注意，这里的R 描述从世界坐标系旋转一定角度，然后经过一个平移向量t，得到了相机坐标系。

变换矩阵与齐次坐标

但是上述旋转矩阵和平移向量的表达方式有一些问题，比如：

b=R1a+t1,c=R2b+t2

那么从 a 到 c 的变换就变成了以下式子：

c=R2(R1a+t1)+t2

这个样子在多次变换之后形式会有点复杂，我们比较嫌弃它，所以，引入齐次坐标和变换矩阵！
a,=Ra+t 这个式子，用齐次坐标和变换矩阵改写如下：

[a,1]=[R0Tt1][a1]=T[a1]

在这个式子中，T 就叫做变换矩阵，然后用 a,~ 来表示 [a,1] ，叫做 a, 的齐次坐标。
[注]
齐次坐标的概念：
就是在原来的坐标增加一个维度。而且一个向量的齐次坐标是可以有多种表示的。
比如对于（1，1，1）这个点，它的齐次坐标可以是（k,k,k,k），k可以是任意的常数，只要不等于0。
因为一个（非齐次）坐标的齐次坐标有这么一个原则：
齐次坐标的每个分量，乘以一个非零常数后，任然表示同一个点。

所以有了齐次坐标和变换矩阵的概念以后，坐标系的多次变换可以写成这个样子：

b~=T1a~,c~=T2b~⇒c~=T2T1a~

所以啊，人类懒惰的本质又暴露出来了，默认情况下，我们去掉坐标字幕头上的波浪号了， a~→a 。
这样也挺好的，带着“帽子”总有点怪怪的，谁知道是什么颜色呢？（哈哈~~）！
不过我们自己心里也要清楚：

• 当出现Ta这种形式的时候，因为写了变换矩阵，所以，这里的a就是齐次坐标；
• 同理，当出现Ra，因为用了旋转矩阵，所以这里的a就是非齐次坐标
• 如果Ta和Ra出现在等号的两边，它们不是严格意义上的等号，我们假设二者之间已经从非齐次转换成了齐次坐标（或者齐次转为非齐次）。