2481. [HZOI 2016][POJ3233]矩阵幂之和
时间限制：2 s 内存限制：128 MB【题目描述】
给定一个n*n的矩阵A和一个正整数k，求S=A+A^2+A^3+...+A^k。
【输入格式】
第一行三个正整数n,k,m。
以下n行，每行n个小于m的非负整数，表示矩阵A。
【输出格式】
n行，每行n个数，表示矩阵S中的每个元素mod m的值。
【样例输入】
2 2 4
0 1
1 1
【样例输出】
1 2
2 3
【数据范围与约定】
对于30%的数据，k<=10^5。
对于60%的数据，m<=10^8。
对于100%的数据，n<=30，k<=10^10，m<=10^18。
刚看这题想到了之前做的一道题，求得是一个数的A+A^2+A^3+...+A^k之和,那个可以用错位相减和乘法逆元来搞，然而这个不行(难道逆矩阵？滑稽)。
首先我们把初始矩阵设为A,单位矩阵设为E,零矩阵设为O,构造出这样一个矩阵：
A E 一次幂： A^2 A+E 二次幂：A^3 A^2+A+E 三次幂： A^4 A^3+A^2+A+E
O E O E O E O E
那么我们会惊奇的发现，这个矩阵的K+1次幂居然是E+A+A^2+A^3+...+A^k,那么我们再减去一个E就是最终结果。(没错，就是矩阵套矩阵.) 这个题应该还有别的更快的做法，不过个人感觉好复杂的样子。
注意：乘法爆long long，要处理一下。。。
代码：
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;
typedef long long ll;
int n;
ll K,ki;
inline ll mul(ll x,ll y){return (x*y-(ll)(x/(long double)ki*y+1e-3)*ki+ki)%ki;}
struct matrix
{ll s[32][32];
matrix(){mem(s,0);}
void init(){mem(s,0);for(int i=0;i<n;i++) s[i][i]=1;}
void cl(){mem(s,0);}
friend matrix operator * (matrix x,matrix y)
{matrix z;ll tmp;
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<n;j++)
for(int k=0;k<n;k++)
{tmp=mul(x.s[i][k],y.s[k][j])%ki;
z.s[i][j]+=tmp;z.s[i][j]%=ki;
}
return z;
}
friend matrix operator + (matrix x,matrix y)
{matrix z;
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<n;j++)
z.s[i][j]=(x.s[i][j]+y.s[i][j])%ki;
return z;
}
friend matrix operator - (matrix x,matrix y)
{matrix z;
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<n;j++)
z.s[i][j]=(x.s[i][j]-y.s[i][j]+ki)%ki;
return z;
}
}A,E,O,fans;
struct matrix2
{matrix s[4][4];
void cl(){for(int i=0;i<2;i++) for(int j=0;j<2;j++) s[i][j].cl();}
matrix2(){cl();}
void init(){for(int i=0;i<2;i++) s[i][i].init();}
friend matrix2 operator * (matrix2 x,matrix2 y)
{matrix2 z;
for(int i=0;i<2;i++)
for(int j=0;j<2;j++)
for(int k=0;k<2;k++)
{matrix tmp=x.s[i][k]*y.s[k][j];
z.s[i][j]=z.s[i][j]+tmp;
}
return z;
}
}B,ans;
int main()
{ freopen("matrix_sum.in","r",stdin);
freopen("matrix_sum.out","w",stdout);
scanf("%d%lld%lld",&n,&K,&ki);
ll tmp;E.init();ans.init();
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<n;j++)
{scanf("%lld",&tmp);
A.s[i][j]=tmp;
}
B.s[0][0]=A;B.s[0][1]=E;B.s[1][0]=O;B.s[1][1]=E;
ll edg=K+1;
for(;edg;edg>>=1,B=B*B)
if(edg&1) ans=ans*B;
fans=ans.s[0][1]-E;
for(int i=0;i<n;i++)
{printf("%lld",fans.s[i][0]);
for(int j=1;j<n;j++)
printf(" %lld",fans.s[i][j]);
putchar('\n');
}
return 0;
}