切比雪夫不等式及其证明

切比雪夫不等式及其证明

本质: 随机变量$X$偏离$E（X)$越大，则其概率越小。

定理 设随机变量$X$具有数学期望$E(X)=\mu$,方差$D(X)={\sigma }^2$,则对$\forall ϵ\ge 0$,不等式
P { ∣ X − μ ∣ ≥ ϵ } ≤ σ 2 ϵ 2 P \{ | X- \mu | \ge \epsilon \} \le \frac {\sigma^2}{\epsilon^2} P{∣X−μ∣≥ϵ}≤ϵ2σ2​
成立。

证明：
只就连续性随机变量的情况来证明。设$X$的概率密度函数为$f(x)$,则有
P { ∣ X = μ ∣ ≥ ϵ } = ∫ ∣ x − μ ∣ ≥ ϵ f ( x ) d x ≤ ∫ ∣ x − μ ∣ ≥ ϵ f ( x ) d x ≤ ∫ ∣ x − μ ∣ ≥ ϵ ∣ x − μ ∣ 2 ϵ 2 f ( x ) d x ≤ 1 ϵ 2 ∫ − ∞ + ∞ ( x − μ ) 2 f ( x ) d x = σ 2 ϵ 2 P \{ |X=\mu|\ge\epsilon \} = \int _{|x-\mu|\ge\epsilon} f(x)dx \\ \le \int _{|x-\mu|\ge\epsilon}f(x)dx \\ \le \int _{|x-\mu|\ge\epsilon} \frac {|x-\mu|^2} {\epsilon^2}f(x)dx \\ \le \frac {1} {\epsilon^2} \int _{- \infty} ^{+ \infty} (x- \mu)^2f(x)dx \\ =\frac {\sigma^2} {\epsilon^2} P{∣X=μ∣≥ϵ}=∫∣x−μ∣≥ϵ​f(x)dx≤∫∣x−μ∣≥ϵ​f(x)dx≤∫∣x−μ∣≥ϵ​ϵ2∣x−μ∣2​f(x)dx≤ϵ21​∫−∞+∞​(x−μ)2f(x)dx=ϵ2σ2​
另一种形式：

P { ∣ X − μ ∣ < ϵ } ≥ 1 − σ 2 ϵ 2 P\{ |X-\mu| <\epsilon\} \ge1-\frac{\sigma^2} {\epsilon^2} P{∣X−μ∣<ϵ}≥1−ϵ2σ2​

意义： 随机变量$分布未知$，$仅知E(X)和D(X)$情况下估计概率 P { ∣ X − E ( X ) ∣ < ϵ } P\{ |X-E(X)|<\epsilon\} P{∣X−E(X)∣<ϵ}的界限