平面几何和立体几何

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平面几何

余弦定理和勾股定理

余弦定理和勾股定理的几何图形解释

[震惊！余弦定理和勾股定理竟然有这样的关系]

点间距离、点线距离、线间距离

两点间的距离

已知平面上两点P₁（x₁，y₁）， P₂（x₂，y₂）。分别过两点作x轴 和 y轴的垂线，在Rt△P₁ QP₂中，|P₁ P₂|² = |P₁ Q|² + |P₂ Q|²

从图可知 |P₁ Q| = |x₂ – x₁ |，|P₂ Q| = |y₂ –  y₁ |

代入可得两点间的距离公式：

点到直线的距离

若在平面坐标几何上的直线定义为ax + by + c = 0，点的座标为（x0, y0），则两者间的距离为：

${\displaystyle d={\frac {\left|ax_{0}+by_{0}+c\right|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}$

已知平面上的一点P（x₀ ，y₀）和直线l：Ax + By + C = 0.

过点 P作 PN // x轴，PN ∩ l = N,  作 PM // y轴，PM ∩ l = M，作 PQ ⊥ l, PQ ∩ l = Q

那么点P到直线上的距离就是 | PQ |，设 | PQ | = d，由三角形面积公式可得

在Rt△MPN中，d · |MN | = | PM | · | PN |

现在分别求出 | MN | 、 | PM |、| PN |

∵ M、N 两点在直线l上，PN // x轴， 把y₀代入Ax + By + C = 0 可得点N的横坐标是 – (By₀ + C) / A

同理PM // y轴，把x₀代入Ax + By + C = 0 可得点M的纵坐标是 – (Ay₀ + C) / B

其它证明方法参考[证明方法]

点到平面的距离

若点坐标为（ ${\displaystyle x_{0},y_{0},z_{0}}$），平面为Ax+By+Cz+D=0,则点到平面的距离为：

${\displaystyle d={\frac {\left|Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D\right|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}}$

点到n维超平面的有符号正交（垂直）距离

考虑任意一点 x 和它在决策面上的投影 x ⊥ ,我们有

将 这 个 等 式 的 两 侧 同 时 乘 以 w T , 然 后 加 上 w 0 , 并 且 使 用 y(x) = w T + w 0 以及 y(x ⊥ ) = w T x ⊥ + w 0 = 0 ,我们有

二维线性判别函数的几何表示。决策面(红色)垂直与 w ,它距离原点的偏移量由偏置参数 w 0 控制。此外,一个一般的点 x 与决策面的有符号的正交距离为 y(x)/∥w∥ 。

[PRML]

[计算几何算法4. 关于平面以及点到平面的距离]

两条平行线间的距离

若直线分别为ax + by + c₁ = 0,和ax + by + c₂ = 0,则两者间的距离为：

${\displaystyle d={\frac {\left|c_{1}-c_{2}\right|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}$

夹在两条平行线间公垂线段的长。可取其中任何一条直线上的一点作另一条平行线的垂线，再用点到直接的距离公式求出的距离，便是两条平行线间的距离。如何选取点？ —— 选直线与x轴或y轴的交点, 这样可使（x₀ ，y₀）中的一个为0，计算更方便。

两平行平面间的距离

若两平行平面分别为 Ax + By + Cz + D₁ = 0 和 Ax + By + Cz + D₂ = 0，则两者间的距离为：

${\displaystyle d={\frac {\left|D_{1}-D_{2}\right|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}}$

[ wikipedia 距离]

[ 点间距离、点线距离、线间距离]

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立体几何

球体积公式

n 维球体积公式

Vn(r)=πn/2Γ(n2+1)rn

D 维空间的半径为 r 的球体的体积一定是 r^D 的倍数,因此我们有VD (r) = K_D * r^D。其中常数 K D 值依赖于 D 。

n 维球表面积公式

Sn(r)=2πn/2Γ(n2)rn−1

[鬼斧神工：求n维球的体积]

3维球体积公式

V = ⁴⁄₃πr³

在三维空间中建立的几何直觉会在考虑高维空间时不起作用。即高维球体中质量并不是均匀分布的！

示例

考虑 D 维空间的一个半径 r = 1 的球体,请问,位于半径 r = 1 − ε 和半径 r = 1 之间的部分占球的总体积的百分比是多少?

我们要求解的体积比就是
(V D (1) − V D (1 − ε)) / V D (1) = 1 − (1 − ε) ^D
我们看到,对于较大的 D ,这个体积比趋近于1,即使对于小的 ε 也是这样。因此,在高维空间中,一个球体的大部分体积都聚集在表面附近的薄球壳上!

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