矩阵的迹（Trace）

时间：2024-11-21 07:14:25

定义

在线性代数中，一个 n*n 的矩阵 A 的迹（或迹数），是指 A 的主对角线（从左上方至右下方的对角线）上各个元素的总和，一般记作 tr(A) 或 sp(A)： $tr(A)=A_{11}+A_{22}+\cdots +A_{nn}=\sum _{i=1}^{n}A_{ii}$ 。

一个矩阵的迹是其特征值得总和，按代数重数计算。

例子

矩阵 $A=\begin{bmatrix} 3 & 5 & 1\\ 0 & 9 & 2\\ 7 & 6 & 4 \end{bmatrix}$ ，它的迹是 $tr(A)=A_{11}+A_{22}+A_{33}=3+9+4=16$ 。

性质

；
$tr(k\cdot A)=k\cdot tr(A)$ ；
；
$tr(AB)=tr(BA). \\ Proof:tr(AB)=\sum _{i=1}^{n}(AB)_{ii}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}A_{ij}B_{ij}=\sum _{j=1}^{m}\sum _{i=1}^{n}B_{ji}A_{ij}=\sum _{j=1}^{m}(BA)_{jj}=tr(BA)$
，注意： $tr(ABC)\neq tr(ACB)$ 。

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