Trapezoidal Rule
思想原理
为了求解积分值，人们想到一种近似方法。假设要求
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b] 上的积分，将积分区间等长分成
n
n
n 段，则每两个分段点之间的距离
h
=
b
−
a
n
h=\frac{b−a}{n}
h=nb−a，然后如下图进行近似
则该区间上的积分值就近似等同于每个小梯形的面积之和。
推导过程
如上图所示， ∫ a b f ( x ) \int_{a}^{b}f(x) ∫abf(x) 的结果，就是上图中所有梯形面积总和。
梯形面积
第一个梯形（最左边）的上底
f
(
x
0
)
f(x_0)
f(x0)，下底
f
(
x
1
)
f(x_1)
f(x1)，高为
h
=
b
−
a
n
h=\frac{b-a}{n}
h=nb−a，因此对应的面积为
S
1
=
(
f
(
x
0
)
+
f
(
x
1
)
)
∗
h
/
2
=
(
f
(
x
0
)
+
f
(
x
1
)
)
∗
h
2
S_1=(f(x_0)+f(x_1))*h/2=\frac{(f(x_0)+f(x_1))*h}{2}
S1=(f(x0)+f(x1))∗h/2=2(f(x0)+f(x1))∗h。
以此类推，最后一个（最右边）的上上底
f
(
x
n
−
1
)
f(x_{n-1})
f(xn−1)，下底
f
(
x
n
)
f(x_n)
f(xn)，高为
h
=
b
−
a
n
h=\frac{b-a}{n}
h=nb−a，因此对应的面积为
S
n
=
(
f
(
x
n
−
1
)
+
f
(
x
n
)
)
∗
h
/
2
=
(
f
(
x
n
−
1
)
+
f
(
x
n
)
)
∗
h
2
S_n=(f(x_{n-1})+f(x_n))*h/2=\frac{(f(x_{n-1})+f(x_n))*h}{2}
Sn=(f(xn−1)+f(xn))∗h/2=2(f(xn−1)+f(xn))∗h。
因此，所有梯形的总面积为
∫
a
b
f
(
x
)
≈
∑
i
=
1
n
(
S
i
)
=
S
0
+
.
.
.
+
S
n
=
h
2
[
f
(
x
0
)
+
f
(
x
1
)
+
f
(
x
1
)
+
f
(
x
2
)
+
⋯
+
f
(
x
n
−
2
)
+
f
(
x
n
−
1
)
+
f
(
x
n
−
1
)
+
f
(
x
n
)
]
=
(
b
−
a
)
2
∗
n
[
f
(
x
0
)
+
2
∑
i
=
1
n
f
(
x
i
)
+
f
(
x
n
)
]
\int_{a}^{b}f(x) \approx \sum_{i=1}^{n}(S_i)=S_0+...+S_n\\ =\frac{h}{2}[f(x_0)+f(x_1)+f(x_1)+f(x_2)+\cdots + f(x_{n-2})+ f(x_{n-1})+ f(x_{n-1})+ f(x_{n})]\\ =\frac{(b-a)}{2*n}[f(x_0)+2\sum_{i=1}^{n}f(x_i)+f(x_n)]
∫abf(x)≈i=1∑n(Si)=S0+...+Sn=2h[f(x0)+f(x1)+f(x1)+f(x2)+⋯+f(xn−2)+f(xn−1)+f(xn−1)+f(xn)]=2∗n(b−a)[f(x0)+2i=1∑nf(xi)+f(xn)]
C++ implement
输入
根据上面的公式，我们可以总结出，输入包括以下几个：
1、
f
(
x
)
f(x)
f(x)。即需要积分的函数。
2、
x
0
x_0
x0。即积分开始点。
3、
x
n
x_n
xn。即积分结束点。
4、
n
n
n。即毕竟的次数。
f ( x ) f(x) f(x) 函数
和前面的设计一样，使用外部函数实现。对应的函数原型如下：
//输入x，计算对应的y值。
double f(double x);
主框架
类似前面的计算，主要用于输入数据。
#include <iostream>
using namespace std;
//输入x，计算对应的y值。
double f(double x);
int main() {
//变量定义
double lower;//起点坐标
double upper;//终点坐标
int step;//迭代次数
cout<<"Enter lower limit of integration:";
cin>>lower;
cout<<"Enter upper limit of integration:";
cin>>upper;
cout<<"Enter number of sub intervals:";
cin>>step;
//计算 h
double h=(upper-lower)/step;
//计算f(x0)+f(xn)
double ans=f(lower)+f(upper);
//开始迭代
double x=lower;
for (int i=1; i<step; i++) {
x += h;
ans += 2*f(x);
}
ans = ans*h/2;
//结果输出
cout<<"Required value of integration is: "<<ans<<"\n";
return 0;
}
测试
样例 1
我们计算 ∫ 0 6 1 1 + x 2 \int_0^6\frac{1}{1+x^2} ∫061+x21，迭代次数为 6 6 6 次。
f ( x ) f(x) f(x) 函数实现
#include <cmath>
//输入x，计算对应的y值。
double f(double x) {
return 1.0/(1+pow(x,2));
}
编译
测试环境为 Win10+MinGW，使用 g++ 编译器。
g++ -g -o
运行结果
