正弦定理

时间：2024-11-21 07:11:11

正弦定理（The Law of Sines）是三角学中的一个基本定理。

定理定义

在任意 $\Delta ABC$ 中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，三角形外接园的半径为 R，直径为 D。则有： $\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R=D$ 。即，一个三角形中，各边和所对角的正弦之比相等，且该比值等于该三角形外接园的直径（半径的2倍）长度。

证明

做一个边长为a，b，c的三角形，对应角分别是A，B，C。从角C向c边做垂线，得到一个长度为h的垂线和两个直角三角形。如图所示。

很明显： $sinA=\frac{h}{b}$ ， $sinB=\frac{h}{a}$ 。因此 h=a*sinB=b*sinA ，以及 $\frac{sinA}{a}=\frac{sinB}{b}$ 。

同理，也可以得到 $\frac{sinB}{b}=\frac{sinC}{c}$ 。

定理意义

正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦值之间的一个关系式。由正弦函数在区间上的单调性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系。

定理推广

在任意 $\Delta ABC$ 中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，三角形外接园的半径为 R，直径为 D。正弦定理进行变形有：

1、a=2*R*sinA，b=2*R*sinB，c=2*R*sinC

2、a*sinB=b*sinA，b*sinC=c*sinB，a*sinC=c*sinA

3、a:b:c=sinA:sinB:sinC

4、 $\frac{a}{sinA}=\frac{a+b}{sinA+sinB}=\frac{a+b+c}{sinA+sinB+sinC}$ ，等比，不变

5、S= $S=\frac{1}{2}*a*b*sinC=\frac{1}{2}*a*c*sinB=\frac{1}{2}*b*c*sinA$ ，三角形面积公式

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