错位相减求和法

前言

等比数列的前$n$项的求和公式的推导方法，就是错位相减求和法。下述视频的第50秒开始；

适用范围

①等比数列[基本]；

②差比数列[拓展]；错位相减求和法适用于由等差数列 { a n } \{a_n\} {an​}和等比数列 { b n } \{b_n\} {bn​}对应相乘得到的差比数列 { a n ⋅ b n } \{a_n\cdot b_n\} {an​⋅bn​}；比如有题目给定一个数列 { n 2 n } \{\cfrac{n}{2^n}\} {2nn​}，我们先将其适当变形为 { n ⋅ ( 1 2 ) n } \{n\cdot (\cfrac{1}{2})^n\} {n⋅(21​)n}，则可以看出其第一个因子数列$a_n=n$就是个等差数列，第二个因子数列$b_n=(\frac{1}{2}{)}^n$就是个等比数列；故数列 { a n ⋅ b n } \{a_n\cdot b_n\} {an​⋅bn​}就是差比数列；

• 如何判断一个数列是等差还是等比数列？

①学会将所给的数列的通项公式找出来；

②从函数的角度看，若数列是关于$n$的一次型函数，则此数列一定为等差数列；

③从函数的角度看，若数列是关于$n$的指数型函数，则此数列一定为等比数列；

求和：$S_n=1\cdot 2+2\cdot 2^2+3\cdot 2^3+\cdots +n\cdot 2^n$；

分析：认真观察此数列，把数列的每一项由乘号分隔开，都人为的拆分为两项，

每一项的第一个因子构成数列为$1$，$2$，$3$，$\cdots$，$n$，是个等差数列，

每一项的第二个因子构成数列为$2$，$2^2$，$2^3$，$\cdots$，$2^n$，是个等比数列，故上述求和是个差比数列求和，应该使用错位相减求和法；

或者你的函数知识掌握的不错的话，则一眼就能认出来其通项公式为$n\cdot 2^n$，故其第一个因子数列$a_n=n$就是个等差数列，第二个因子数列$b_n=2^n$就是个等比数列；故
上述求和是个差比数列求和，应该使用错位相减求和法，

相关公式

①等差数列的$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=n{a}_1+\frac{n(n-1)\cdot d}{2}$

②等比数列的 S n = { n a 1 ， q = 1 a 1 ⋅ ( 1 − q n ) 1 − q = a 1 − a n q 1 − q ， q ≠ 1 S_n=\left\{na1，q=1a1⋅(1−qn)1−q=a1−anq1−q，q≠1

\right. Sn​=⎩ ⎨ ⎧​na1​，q=11−qa1​⋅(1−qn)​=1−qa1​−an​q​，q=1​

③$1+2+3+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$；

④$1+3+5+\cdots +(2n-1)=\frac{[1+(2n-1)]\cdot n}{2}=n^2$，注意求和项数为$n$项；

⑤$2+4+6+\cdots +2n=\frac{(2+2n)\cdot n}{2}=n^2$，注意求和项数为$n$项；

⑥$1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2=\frac{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6}$；

⑦$1^3+2^3+3^3+\cdots +n^3=[\frac{n(n+1)}{2}{]}^2$；

⑧由$a_{n+2}-a_n=2$可知，数列中奇数项成等差，公差为$2$；偶数项成等差，公差为$2$；

⑨由$\frac{a_{n+2}}{a_n}=2$可知，数列中奇数项成等比，公比为$2$；偶数项成等比，公比为$2$；

廓清认知

• 求和第一步： 欲求和，先认清数列的通项公式，以$a_n$为“抓手”。

如数列$1$，$\frac{1}{1+2}$， $\frac{1}{1+2+3}$，$\cdots$，$\frac{1}{1+2+3+\cdots +n}$求和时，

必须首先认识到通项公式：$a_n=\frac{1}{1+2+3+\cdots +n}$，

• 求和第二步：认清结构，合理选择恰当的方法，

典例剖析

求和$S_n=1\cdot 2+2\cdot 2^2+3\cdot 2^3+\cdots +n\cdot 2^n$；

分析:首先认清求和的数列的通项公式$a_n=n\cdot 2^n$，是个差比数列，其中等比数列的公比为$2$，

下来按部就班的使用“错位相减法”求和就成了。解如下：

KaTeX parse error: Undefined control sequence: \label at position 66: …cdots+n\cdot2^n\̲l̲a̲b̲e̲l̲{1} \end{equati…

KaTeX parse error: Undefined control sequence: \label at position 78: …+n\cdot 2^{n+1}\̲l̲a̲b̲e̲l̲{2} \end{equati…

具体的错位方法如下图说明：

错位相减法图示

第一部分	第二部分	第三部分 [关键+重点]	第四部分
$S_n=$	$1\cdot 2+$	$2\cdot 2^2+3\cdot 2^3+\cdots +n\cdot 2^n$	$+0①$
$2S_n=$	$0+$	$1\cdot 2^2+2\cdot 2^3+\cdots +(n-1)\cdot 2^n$	$+n\cdot 2^{n+1}②$
$1$项	$1$项	$(n-1)$项	$1$项

(1)-(2)得到：

− S n = 1 ⋅ 2 + [ 1 ⋅ 2 2 + 1 ⋅ 2 3 + ⋯ + 1 ⋅ 2 n ] − n ⋅ 2 n + 1 −Sn=1⋅2+[1⋅22+1⋅23+⋯+1⋅2n]−n⋅2n+1

−Sn​=1⋅2+[1⋅22+1⋅23+⋯+1⋅2n]−n⋅2n+1​​

再次整理为

− S n = 2 ⋅ ( 1 − 2 n ) 1 − 2 − n ⋅ 2 n + 1 −Sn=2⋅(1−2n)1−2−n⋅2n+1

−Sn​=1−22⋅(1−2n)​−n⋅2n+1​​

最后整理为

$$S_n=(n-1)\cdot 2^{n+1}+2$$

结果化简

到底化简到什么程度就可以停下来了？

这涉及到合并同类项的问题，比如题目中的单项式和单项式合并，多项式和多项式合并，指数式和指数式合并，对数式和对数式合并即可。

综合题目

【2022届高三文科二轮定时训练题】已知各项均为正数的数列 { a n } \{a_{n}\} {an​} 的前 $n$ 项和为 $S_n$，且满足 $a_1^3$$+$$a_2^3$$+$$a_3^3$$+$$\cdots$$+$$a_n^3$$=$$S_n^2$$+$$2S_n$， 设 $b_n=\frac{a_n}{2^n}$， 数列 { b n } \{b_{n}\} {bn​} 的前 $n$ 项和为 $T_n$， 则使得 $T_n<m$ 成立的最小的 $m$ 的值为_________.

〔审题分析〕：$\Leftarrow$ $T_n<m$ 成立的最小的 $m$ 的值，属于不等式恒成立问题；

$\Leftarrow$ 求解数列 $T_n$ 的最大值或最大值的极限；

$\Leftarrow$ 求解数列 $b_n$ 的通项公式，观察 $b_n$ 的结构，猜测其可能是差比数列，则要使用错位相减法求和；

$\Leftarrow$ 求数列 $a_n$ 的通项公式，结合已知条件的结构特征；

$\Leftarrow$ 利用 $a_n$ 与 $S_n$ 的关系求解 $a_n$；

〔具体解析〕： 由 $a_1^3+a_2^3+a_3^3+\cdots +a_n^3=S_n^2+2S_n$，

得 $a_1^3+a_2^3+a_3^3+\cdots +a_{n-1}^3=S_{n-1}^2+2S_{n-1}(n⩾2)$， 两式相减得

$a_n^3=S_n^2+2S_n-S_{n-1}^2-2S_{n-1}=a_n(S_n+S_{n-1})+2a_n(n⩾2)$

由于$a_n>0$， $a_n^2=S_n+S_{n-1}+2(n⩾2)$，

所以$a_{n-1}^2=S_{n-1}+S_{n-2}+2(n⩾3)$，

两式相减得， $a_n^2-a_{n-1}^2=a_n+a_{n-1}(n⩾3)$，

由于$a_n>0$，则得到 $a_n-a_{n-1}=1(n⩾3)$注意，此时还不能判断数列 { a n } \{a_n\} {an​} 为等差数列，还差一个 $a_2$$-$$a_1$$=$$1$的验证，故接下来是计算验证$a_2$$-$$a_1$是否等于$1$，若等于就是等差数列，若不等于就不是等差数列；，

又当 $n=1$ 时，有 $a_1^3=S_1^2+2S_1$；

当 $n=2$ 时，有 $a_1^3+a_2^3=S_2^3+2S_2$

解得 $a_1=2$， $a_2=3$ ，$a_2-a_1=1$，

故数列 { a n } \{a_{n}\} {an​} 是首项为 $2$ 公差为 $1$ 的等差数列，

所以，$a_n=2+(n-1)=n+1$ ，$b_n=\frac{n+1}{2^n}$，

所以， $T_n=\frac{2}{2^1}+\frac{3}{2^2}+\frac{4}{2^3}+\cdots +\frac{n+1}{2^n}$，

$\frac{1}{2}{T}_n=\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\frac{4}{2^4}+\cdots +\frac{n+1}{2^{n+1}}$，

两式相减得， $\frac{1}{2}{T}_n=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots +\frac{1}{2^n}-\frac{n+1}{2^{n+1}}$，

$=1+\frac{\frac{1}{2^2}[1-(\frac{1}{2}{)}^{n-1}]}{1-\frac{1}{2}}-\frac{n+1}{2^{n+1}}$，

$=1+\frac{1}{2}[1-(\frac{1}{2}{)}^{n-1}]-\frac{n+1}{2^{n+1}}$

$=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2^n}-\frac{n+1}{2^{n+1}}$

$=\frac{3}{2}-\frac{2}{2^{n+1}}-\frac{n+1}{2^{n+1}}$

$=\frac{3}{2}-\frac{n+3}{2^{n+1}}$，

所以，$T_n=3-\frac{n+3}{2^n}<3$，故 $T_n$ 的最小值的极限为 $3$，

故要使得 $T_n<m$ 恒成立，则 $m⩾3$，即 $m$ 的最小值为 $3$ .

〔解后反思〕本题目综合程度比较高，涉及类型：① 由 a n a_n an​ 与 S n S_n Sn​ 的关系求解 a n a_n an​；②等差数列的判定；③等差数列的通项公式；④差比数列；⑤错位相减法；⑥放缩法；⑦恒成立命题；

对应练习

【2018安徽淮南一模】已知数列 { a n } \{a_n\} {an​}为等差数列，且$a_3=5$，$a_5=9$，数列 { b n } \{b_n\} {bn​}的前$n$项和为$S_n=\frac{2}{3}{b}_n+\frac{1}{3}$，

(1).求数列 { a n } \{a_n\} {an​}和 { b n } \{b_n\} {bn​}的通项公式；

提示：$a_n=2n-1$，$b_n=(-2{)}^{n-1}$；

(2).设$c_n=a_n\cdot |b_n|$，求数列 { c n } \{c_n\} {cn​}的前$n$项和$T_n$；

提示：$c_n=(2n-1)2^{n-1}$，$T_n=(2n-3)2^n+3$；

已知等比数列 { a n } \{a_n\} {an​}的各项都为正数，且当$n\ge 3$时，$a_4\cdot a_{2n-4}=10^{2n}$，则数列$lg{a}_1$，$2lg{a}_2$，$2^{2}lg{a}_3$，$2^{3}lg{a}_4$，$\cdots$，$2^{n-1}lg{a}_n$的前$n$项和$S_n$等于_________。

提示：$a_n=10^n$，通项$b_n=2^{n-1}lg{a}_n=n\cdot 2^{n-1}$，差比数列，$S_n=(n-1)\cdot 2^n+1$；