拉格朗日插值公式详解

从而

同理得

基本二次多项式见右上图(点击按钮“显示Li”)。

    2. 拉格朗日型二次插值多项式
由前述, 拉格朗日型二次插值多项式:
                P2 (x)=yk-1 lk-1 (x)+yk lk (x)+yk+1 lk+1 (x),P2 (x)
是三个二次插值多项式的线性组合,因而其是次数不超过二次的多项式,且满足:
                P2 (xi )=yi , (i=k-1,k,k+1) 。
例2 已知：
                xi         10      15             20

                yi=lgxi    1    1.1761         1.3010

利用此三值的二次插值多项式求lg12的近似值。
解：设x0 =10,x1 =15,x2 =20,则:

故:

所以

7利用三个点进行抛物插值得到lg12的值,与精确值lg12=1.0792相比,具有3位有效数字,精度提高了。

    三、拉格朗日型n次插值多项式
已知函数y=f(x)在n+1个不同的点x0 ,x1 ,…,x2 上的函数值分别为

y0 ,y1 ,…,yn ,求一个次数不超过n的多项式Pn (x),使其满足:

         Pn (xi )=yi , (i=0,1,…,n),

即n+1个不同的点可以唯一决定一个n次多项式。
    1. 插值基函数
过n+1个不同的点分别决定n+1个n次插值基函数
          l0 (x),l1 (x),…,ln (X)
每个插值基本多项式li (x)满足：

   (1) li (x)是n次多项式;

   (2) li (xi )=1,而在其它n个li (xk )=0 ,(k≠i)。

由于li (xk )=0 ,(k≠i), 故有因子:

         (x-x0 )…(x-xi-1 )(x-xi+1 )…(x-xn )

因其已经是n次多项式，故而仅相差一个常数因子。令:
          li (x)=a(x-x0 )…(x-xi-1 )(x-xi+1 )…(x-xn )

由li (xi )=1,可以定出a, 进而得到：

次拉格朗日型插值多项式Pn (x)

Pn (x)是n+1个n次插值基本多项式l0 (x),l1 (x),…,ln (X)的线性组合,相应的组合系数是y0 ,y1 ,…,yn。即:

          Pn (x)=y0 l0 (x)+y1 l1 (x)+…+yn ln (x),

从而Pn (x)是一个次数不超过n的多项式,且满足

          Pn (xi )=yi , (i=0,1,2,…,n).

    例3 求过点(2,0),(4,3),(6,5),(8,4),(10,1)的拉格朗日型插值多项式。
解用4次插值多项式对5个点插值。

所以

    四、拉格朗日插值多项式的截断误差
我们在[a,b]上用多项式Pn (x) 来近似代替函数f(x), 其截断误差记作
      Rn (x)=f(x)-Pn (x)
当x在插值结点xi 上时Rn (xi )=f(xi )-P n(xi )=0,下面来估计截断误差：

定理1：设函数y=f(x)的n阶导数y(n) =f(n) (x)在[a,b]上连续，
     y(n+1) = f(n+1) (x)
在(a,b)上存在；插值结点为:
    a≤x0 <x1 <…<xn ≤b,
Pn (x)是n次拉格朗日插值多项式；则对任意x∈[a,b]有：

其中ξ∈(a,b), ξ依赖于x：ωn+1 (x)=(x-x0 )(x-x1 )…(x-xn )

证明：由插值多项式的要求：
      Rn(xi )=f(xi )-Pn (xi )=0，(i=0,1,2,…,n);
设
      Rn (x)=K(x)(x-x0 )(x-x1 )…(x-xn )=K(x)ωn+1 (x)

其中K(x)是待定系数；固定x∈[a,b]且x≠xk ，k=0,1,2,…,n;作函数

       H(t)=f(t)-Pn (t)-K(x)(t-x0 )(t-x1 )…(t-xn )

则 H(xk )=0，(k=0,1,2,…,n), 且H(x)=f(x)-Pn (x)-Rn(x)=0, 所以，

H(t)在[a,b]上有n+2个零点，反复使用罗尔中值定理:存在ξ∈(a,b),

使