泰勒公式中拉格朗日余项和佩亚诺余项的区别及具体的应用场景案例

时间:2024-07-06 17:44:03

泰勒公式是微积分中的一个重要工具,用于将一个函数在某一点附近展开成多项式形式,以便于近似计算和分析。泰勒公式的一般形式为:

f ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) + f ′ ′ ( a ) 2 ! ( x − a ) 2 + ⋯ + f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n + R n ( x ) f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_n(x) f(x)=f(a)+f(a)(xa)+2!f′′(a)(xa)2++n!f(n)(a)(xa)n+Rn(x)

其中, R n ( x ) R_n(x) Rn(x) 是余项,表示泰勒多项式与原函数之间的误差。余项有两种常见的形式:拉格朗日余项和佩亚诺余项。


拉格朗日余项

拉格朗日余项给出了泰勒展开式中误差的精确表达式。对于一个 n n n 次泰勒展开式,拉格朗日余项的形式为:

R n ( x ) = f ( n + 1 ) ( ξ ) ( n + 1 ) ! ( x − a ) n + 1 R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} Rn(x)=(n+1)!f(n+1)(ξ)(xa)n+1

其中, ξ \xi ξ 是介于 a a a x x x 之间的一个数。拉格朗日余项的关键在于它提供了一个具体的误差估计,这个误差是由 f f f ( n + 1 ) (n+1) (n+1) 阶导数在某个中间点 ξ \xi ξ 处的值决定的。

应用场景案例

假设我们想要近似计算 sin ⁡ ( 0.1 ) \sin(0.1) sin(0.1) 的值,并且希望知道近似值的误差范围。我们可以使用泰勒展开式:

sin ⁡ ( x ) ≈ sin ⁡ ( 0 ) + cos ⁡ ( 0 ) x − sin ⁡ ( 0 ) 2 ! x 2 − cos ⁡ ( 0 ) 3 ! x 3 \sin(x) \approx \sin(0) + \cos(0)x - \frac{\sin(0)}{2!}x^2 - \frac{\cos(0)}{3!}x^3 sin(x)sin(0)+cos(0)x2!sin(0)x23!cos(0)x3

即:

sin ⁡ ( x ) ≈ x − x 3 6 \sin(x) \approx x - \frac{x^3}{6} sin(x)x6x3

对于 x = 0.1 x = 0.1 x=0.1,我们有:

sin ⁡ ( 0.1 ) ≈ 0.1 − ( 0.1 ) 3 6 ≈ 0.1 − 0.00016667 ≈ 0.09983333 \sin(0.1) \approx 0.1 - \frac{(0.1)^3}{6} \approx 0.1 - 0.00016667 \approx 0.09983333 sin(0.1)0.16(0.1)30.10.000166670.09983333

使用拉格朗日余项,我们可以估计误差:

R 3 ( 0.1 ) = sin ⁡ ( ξ ) 4 ! ( 0.1 ) 4 R_3(0.1) = \frac{\sin(\xi)}{4!}(0.1)^4 R3(0.1)=4!sin(ξ)(0.1)4

由于 sin ⁡ ( ξ ) \sin(\xi) sin(ξ) 的最大值为 1(在 ξ \xi ξ 介于 0 和 0.1 之间时),我们有:

∣ R 3 ( 0.1 ) ∣ ≤ 1 24 ( 0.1 ) 4 ≈ 0.000004167 |R_3(0.1)| \leq \frac{1}{24}(0.1)^4 \approx 0.000004167 R3(0.1)241(0.1)40.000004167

因此,近似值 0.09983333 0.09983333 0.09983333 的误差不超过 0.000004167 0.000004167 0.000004167


佩亚诺余项

佩亚诺余项则给出了泰勒展开式中误差的一个渐近表达式。对于一个 n n n 次泰勒展开式,佩亚诺余项的形式为:

R n ( x ) = o ( ( x − a ) n ) R_n(x) = o((x-a)^n) Rn(x)=o((xa)n)

这里的 o ( ( x − a ) n ) o((x-a)^n) o((xa)n) 表示一个小量,当 x x x 趋近于 a a a 时, R n ( x ) R_n(x) Rn(x) ( x − a ) n (x-a)^n (xa)n 更快地趋近于零。佩亚诺余项的关键在于它描述了误差的一个渐近行为,而不是一个具体的数值。

应用场景案例

假设我们想要证明 lim ⁡ x → 0 sin ⁡ ( x ) x = 1 \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 limx0xsin(x)=1。我们可以使用泰勒展开式:

sin ⁡ ( x ) = x − x 3 6 + o ( x 3 ) \sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3) sin(x)=x6x3+o(x3)

因此:

sin ⁡ ( x ) x = 1 − x 2 6 + o ( x 2 ) \frac{\sin(x)}{x} = 1 - \frac{x^2}{6} + o(x^2) xsin(x)=16x2+o(x2)

x → 0 x \to 0 x0 时, o ( x 2 ) o(x^2) o(x2)