泰勒公式是微积分中的一个重要工具，用于将一个函数在某一点附近展开成多项式形式，以便于近似计算和分析。泰勒公式的一般形式为：
f ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) + f ′ ′ ( a ) 2 ! ( x − a ) 2 + ⋯ + f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n + R n ( x ) f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_n(x) f(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+2!f′′(a)(x−a)2+⋯+n!f(n)(a)(x−a)n+Rn(x)
其中， R n ( x ) R_n(x) Rn(x) 是余项，表示泰勒多项式与原函数之间的误差。余项有两种常见的形式：拉格朗日余项和佩亚诺余项。
拉格朗日余项
拉格朗日余项给出了泰勒展开式中误差的精确表达式。对于一个 n n n 次泰勒展开式，拉格朗日余项的形式为：
R n ( x ) = f ( n + 1 ) ( ξ ) ( n + 1 ) ! ( x − a ) n + 1 R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} Rn(x)=(n+1)!f(n+1)(ξ)(x−a)n+1
其中， ξ \xi ξ 是介于 a a a 和 x x x 之间的一个数。拉格朗日余项的关键在于它提供了一个具体的误差估计，这个误差是由 f f f 的 ( n + 1 ) (n+1) (n+1) 阶导数在某个中间点 ξ \xi ξ 处的值决定的。
应用场景案例
假设我们想要近似计算 sin ( 0.1 ) \sin(0.1) sin(0.1) 的值，并且希望知道近似值的误差范围。我们可以使用泰勒展开式：
sin ( x ) ≈ sin ( 0 ) + cos ( 0 ) x − sin ( 0 ) 2 ! x 2 − cos ( 0 ) 3 ! x 3 \sin(x) \approx \sin(0) + \cos(0)x - \frac{\sin(0)}{2!}x^2 - \frac{\cos(0)}{3!}x^3 sin(x)≈sin(0)+cos(0)x−2!sin(0)x2−3!cos(0)x3
即：
sin ( x ) ≈ x − x 3 6 \sin(x) \approx x - \frac{x^3}{6} sin(x)≈x−6x3
对于 x = 0.1 x = 0.1 x=0.1，我们有：
sin ( 0.1 ) ≈ 0.1 − ( 0.1 ) 3 6 ≈ 0.1 − 0.00016667 ≈ 0.09983333 \sin(0.1) \approx 0.1 - \frac{(0.1)^3}{6} \approx 0.1 - 0.00016667 \approx 0.09983333 sin(0.1)≈0.1−6(0.1)3≈0.1−0.00016667≈0.09983333
使用拉格朗日余项，我们可以估计误差：
R 3 ( 0.1 ) = sin ( ξ ) 4 ! ( 0.1 ) 4 R_3(0.1) = \frac{\sin(\xi)}{4!}(0.1)^4 R3(0.1)=4!sin(ξ)(0.1)4
由于 sin ( ξ ) \sin(\xi) sin(ξ) 的最大值为 1（在 ξ \xi ξ 介于 0 和 0.1 之间时），我们有：
∣ R 3 ( 0.1 ) ∣ ≤ 1 24 ( 0.1 ) 4 ≈ 0.000004167 |R_3(0.1)| \leq \frac{1}{24}(0.1)^4 \approx 0.000004167 ∣R3(0.1)∣≤241(0.1)4≈0.000004167
因此，近似值 0.09983333 0.09983333 0.09983333 的误差不超过 0.000004167 0.000004167 0.000004167。
佩亚诺余项
佩亚诺余项则给出了泰勒展开式中误差的一个渐近表达式。对于一个 n n n 次泰勒展开式，佩亚诺余项的形式为：
R n ( x ) = o ( ( x − a ) n ) R_n(x) = o((x-a)^n) Rn(x)=o((x−a)n)
这里的 o ( ( x − a ) n ) o((x-a)^n) o((x−a)n) 表示一个小量，当 x x x 趋近于 a a a 时， R n ( x ) R_n(x) Rn(x) 比 ( x − a ) n (x-a)^n (x−a)n 更快地趋近于零。佩亚诺余项的关键在于它描述了误差的一个渐近行为，而不是一个具体的数值。
应用场景案例
假设我们想要证明 lim x → 0 sin ( x ) x = 1 \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 limx→0xsin(x)=1。我们可以使用泰勒展开式：
sin ( x ) = x − x 3 6 + o ( x 3 ) \sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3) sin(x)=x−6x3+o(x3)
因此：
sin ( x ) x = 1 − x 2 6 + o ( x 2 ) \frac{\sin(x)}{x} = 1 - \frac{x^2}{6} + o(x^2) xsin(x)=1−6x2+o(x2)
当 x → 0 x \to 0 x→0 时， o ( x 2 ) o(x^2) o(x2)