一、预备知识
①设点\(P(a，b)\)，则点\(P\)关于直线\(x=m\)的对称点\(Q(2m-a，b)\)，
即两点\(P(a，b)， Q(2m-a，b)\)关于直线\(x=m\)对称。
②有关轴对称的概念
二、函数自身对称
- 注意：只涉及一个函数；
1、若函数\(y=f(x)\)关于原点\((0，0)\)对称，则\(f(-x)=-f(x)\)或\(f(x)+f(-x)=0\)，反之亦成立；
2、若函数\(y=f(x)\)关于直线\(x=a\)对称(当\(a=0\)时即关于\(y\)轴对称)，则\(f(a+x)=f(a-x)\)，反之亦成立；
3、若函数\(y=f(x)\)满足\(f(a+x)=f(b-x)\)，函数\(y=f(x)\)的图像关于直线\(x=\cfrac{a+b}{2}\)对称，反之亦成立；
4、若函数\(y=f(x)\)图像是关于点\(A(a，b)\)对称，则充要条件是\(f(x)+f(2a-x)=2b\)。
抽象函数的性质的验证
5、若函数\(f(x)\)是偶函数，其图像关于直线\(x=a\)对称，则\(T=2a(a>0)\)；
证明：由函数\(f(x)\)是偶函数，得到\(f(-x)=f(x)①\)；
又函数图像关于直线\(x=a\)对称，得到\(f(x)=f(2a-x)②\)，
由①②得到，\(f(2a-x)=f(-x)\)，用\(-x\)替换\(x\)，
即\(f(x+2a)=f(x)\)，故\(T=2a(a>0)\)；
6、若函数\(f(x)\)是奇函数，其图像关于直线\(x=a\)对称，则\(T=4a(a>0)\)；
证明：由函数\(f(x)\)是奇函数，得到\(-f(-x)=f(x)①\)；
又函数图像关于直线\(x=a\)对称，得到\(f(x)=f(2a-x)②\)，
由①②得到，\(f(2a-x)=-f(-x)\)，用\(-x\)替换\(x\)，
即\(f(x+2a)=-f(x)\)，故\(T=4a(a>0)\)；
7、若函数\(f(x)\)的图像关于两条直线\(x=a\)和\(x=b\)对称，则\(T=2|a-b|\)；
证明：由函数\(f(x)\)的图像关于直线\(x=a\)对称，得到得到\(f(x)=f(2a-x)①\)；
又由函数\(f(x)\)的图像关于直线\(x=b\)对称，得到\(f(x)=f(2b-x)②\)；
即\(f(2a-x)=f(2b-x)\)，即\(f(x+2a)=f(x+2b)\)，用\(x-2a\)替换\(x\)，
得到\(f(x)=f(x+2(b-a))\)，故则\(T=2|a-b|\)；
8、若函数\(f(x)\)的图像关于点\(M(a，0)\)和点\(N(b，0)\)对称，则\(T=2|a-b|\)；
证明：由函数\(f(x)\)的图像关于点\(M(a，0)\)对称，得到\(f(x)+f(2a-x)=0①\)；
又由函数\(f(x)\)的图像关于点\(N(b，0)\)对称，得到\(f(x)+f(2b-x)=0②\)；
即\(f(2a-x)=f(2b-x)\)，即\(f(x+2a)=f(x+2b)\)，用\(x-2a\)替换\(x\)，
得到\(f(x)=f(x+2(b-a))\)，故则\(T=2|a-b|\)；
9、若函数\(f(x)\)的图像关于直线\(x=a\)和点\(M(b，0)\)对称，则\(T=4|a-b|\)；
证明：由函数\(f(x)\)的图像关于直线\(x=a\)对称，得到\(f(x)=f(2a-x)①\)；
又函数\(f(x)\)的图像关于点\(M(b，0)\)对称，得到\(f(x)+f(2b-x)=0\)，
故\(f(2a-x)=-f(2b-x)\)，用\(-x\)替换\(x\)得到，\(f(x+2a)=-f(x+2b)\)，
再用\(x-2a\)替换\(x\)，得到\(f(x)=-f(x+2(b-a))\)，
即\(f(x+2(b-a))=-f(x)\)，故\(T=4|a-b|\)；
三、两个函数对称
- 以下结论涉及到两个不同的函数
1、若函数\(y=f(x)\)与函数\(y=g(x)\)关于原点\((0，0)\)对称，
则函数\(f(x)\)上的任意一点\((x_0，y_0)\)关于原点的对称点\((-x_0，-y_0)\)，必然在函数\(g(x)\)的图像上，反之亦成立；
2、若函数\(y=f(x)\)与函数\(y=g(x)\)关于某点\((a，b)\)对称，
则函数\(f(x)\)上的任意一点\((x_0，y_0)\)关于点\((a，b)\)的对称点\((2a-x_0，2b-y_0)\)，必然在函数\(g(x)\)的图像上，反之亦成立；
3、若函数\(y=f(x)\)与函数\(y=g(x)\)关于\(y\)轴，即直线\(x=0\)对称，
则函数\(f(x)\)上的任意一点\((x_0，y_0)\)关于直线\(x=0\)的对称点\((-x_0，y_0)\)，必然在函数\(g(x)\)的图像上，反之亦成立；
4、若函数\(y=f(x)\)与函数\(y=g(x)\)关于\(y\)轴，即直线\(x=m\)对称，
则函数\(f(x)\)上的任意一点\((x_0，y_0)\)关于直线\(x=m\)的对称点\((2m-x_0，y_0)\)，必然在函数\(g(x)\)的图像上，反之亦成立；
四、典例剖析
例1设函数\(y=f(x)\)，若恒有\(f(a+x)=f(b-x)\)，则该函数图像是轴对称图形，其对称轴为直线\(x=\cfrac{a+b}{2}\)。
证明：设点\(A(m，n)\)是函数\(y=f(x)\)图像上的任意一点，则有\(n=f(m)\)
易知，点\(A(m，n)\)关于直线\(x=\cfrac{a+b}{2}\)的对称点\(B(a+b-m， n)\)
由于已知条件恒有\(f(a+x)=f(b-x)\)，
令其中的\(x=m-a\)，则代入上式可得：\(f(m)=f(b-(m-a))=f(a+b-m)\)
又\(f(m)=n\)，\(f(m)=f(a+b-m)\)，∴\(n=f(a+b-m)\)，即点\(B(a+b-m， n)\)也在函数\(y=f(x)\)的图像上。
由点\(A(m，n)\)的任意性可知，函数\(y=f(x)\)的图像关于直线\(x=\cfrac{a+b}{2}\)对称。
例2函数\(y=f(x+a)\)的图像与函数\(y=f(b-x)\)的图像关于直线_________对称，并证明。
解：这两个函数图象关于直线\(x=\cfrac{b-a}{2}\)对称。
证明：设点\(P(x，y)\)是函数\(y=f(x+a)\)图像上的任意一点，则有\(y=f(x+a)\)
又点\(P(x，y)\)关于直线\(x=\cfrac{b-a}{2}\)的对称点\(Q(b-a-x， y)\)
∴\(y=f(x+a)=f[b-(b-a-x)]\)，即有\(f[b-(b-a-x)]=y\)
∴点\(Q(b-a-x，y)\)在图象\(y=f(b-x)\)上。
即函数\(y=f(x+a)\)图像上的任意一点\(P(x，y)\)，
关于直线\(x=\cfrac{b-a}{2}\)的对称点\(Q(b-a-x，y)\)均在函数\(y=f(b-x)\)图像上。
故这两个函数图象关于直线\(x=\cfrac{b-a}{2}\)对称。
例3函数\(y=f(x-a)\)的图像与函数\(y=f(b-x)\)的图像关于直线___________对称，并证明。
解：这两个函数图象关于直线\(x=\cfrac{a+b}{2}\)对称。
证明：设点\(P(x，y)\)是函数\(y=f(x-a)\)图像上的任意一点，则有\(y=f(x-a)\)
又点\(P(x，y)\)关于直线\(x=\cfrac{a+b}{2}\)的对称点\(Q(b+a-x，y)\)
∴\(y=f(x-a)=f[b-(b+a-x)]\)，即有\(f[b-(b+a-x)]=y\)
∴点\(Q(b+a-x，y)\)在函数\(y=f(b-x)\)图像上。
即函数\(y=f(x-a)\)图像上的任意一点\(P(x，y)\)，
关于直线\(x=\cfrac{b+a}{2}\)的对称点\(Q(b+a-x，y)\)均在函数\(y=f(b-x)\)图像上。
故这两个图象关于直线\(x=\cfrac{a+b}{2}\)对称。
反思总结：其实例3可以直接用例2的结论。
这样用：对称轴为\(x=\cfrac{b-(-a)}{2}=\cfrac{b+a}{2}\)。
例4已知函数\(y=f(3-x)\)与\(y=f(1+x)\)关于直线\(x=a\)对称，则\(a=1\)。
法1：用具体函数做例子，将抽象问题具体化，比如\(f(x)=x^2\)，
则\(f(3-x)=(3-x)^2\)，\(f(1+x)=(1+x)^2\)，做出这两个图像可知，
函数\(y=f(3-x)\)与\(y=f(1+x)\)关于直线\(x=1\)对称，
注意用\(\cfrac{(3-x)+(1+x)}{2}=2\)的算法是错误的。
法2：利用图像变换做抽象说明，以函数\(f(x)\)和\(f(-x)\)为模板来解释，
函数\(f(x)\)和\(f(-x)\)关于\(y\)轴对称，将\(f(x)\)向左1个单位得到\(f(x+1)\)，
将\(f(-x)\)向右3个单位得到\(f(-(x-3))=f(3-x)\)，
故此时的两个函数\(f(x+1)\)与\(f(3-x)\)的对称轴是\(x=\cfrac{-1+3}{2}=1\)。
例5
已知函数\(y=f(3+x)\)与\(y=f(1-x)\)关于直线\(x=b\)对称，则\(b=-1\)。
法1：仿上法1，得到\(b=-1\)。
法2：将\(f(x)\)向左3个单位，得到\(f(3+x)\)，将\(f(-x)\)向右1个单位，
得到\(f(-(x-1))=f(1-x)\)，故函数\(y=f(3+x)\)与\(y=f(1-x)\)关于直线\(x=-1\)对称。
反思总结：
①、这种变换为什么和以前的变换方法规律不一样了？
若函数\(y=f(x)\)满足\(f(a+x)=f(b-x)\)，函数\(y=f(x)\)的图像关于直线\(x=\cfrac{a+b}{2}\)对称，
此时只涉及一个函数，这个函数是轴对称图形，当你做平移变换时，整体跟着动的；
而现在涉及到两个函数，当你对其中的一个做变换时，那么另外一个应该向反方向平移。
②、怎么理解？
例6【两个函数关于某一点对称】
给定命题，函数\(f(x)=sin(2x+\cfrac{\pi}{4})\)和函数\(g(x)=cos(2x-\cfrac{3\pi}{4})\)的图像关于原点对称，试判断命题的真假。
【分析】：如果函数\(f(x)\)的图像和函数\(g(x)\)的图像关于原点对称，
则函数\(f(x)\)上的任意一点\((x_0，y_0)\)关于原点的对称点\((-x_0，-y_0)\)，必然在函数\(g(x)\)的图像上。
解答：先化简函数\(g(x)=cos(2x-\cfrac{3\pi}{4})=cos(2x-\cfrac{\pi}{4}-\cfrac{\pi}{2})\)，
\(g(x)=cos[\cfrac{\pi}{2}-(2x-\cfrac{\pi}{4})]=sin(2x-\cfrac{\pi}{4})\)，
\(f(x)=sin(2x+\cfrac{\pi}{4})\)
在函数\(f(x)\)图像上任意取一点\(P(x_0，y_0)\)，
则其关于原点的对称点为\(P'(-x_0，-y_0)\)，
将点\(P(x_0，y_0)\)代入函数\(f(x)\)，得到\(y_0=sin(2x_0+\cfrac{\pi}{4})\)
则\(-y_0=-sin(2x_0+\cfrac{\pi}{4})\)，即\(-y_0=sin(2\cdot(-x_0)-\cfrac{\pi}{4})\)，
即点\(P'(-x_0，-y_0)\)在函数\(g(x)=sin(2x-\cfrac{\pi}{4})\)上，
也即点\(P'(-x_0，-y_0)\)在函数\(g(x)=cos(2x-\cfrac{3\pi}{4})\)上，
又由点\(P(x_0，y_0)\)的任意性可知，
函数\(f(x)\)和函数\(g(x)\)的图像必然关于原点对称，
故为真命题。