线性代数（第一章：行列式）-一、行列式的概念

1. 行列式的定义

其中：

• j₁j₂…j_n 是 n 级排列：n 个自然数按照一定的次序排成的无重复数字的有序数组，如 2314 。

• τ(j₁j₂…j_n) 是逆序数。逆序：一个排列中，若大数在小数前，则称这两个数构成一个逆序。逆序数即一个排列中的逆序总数。

• 行列式是一个数，只有方阵才有行列式。

2. 余子式与代数余子式

余子式：M_ij ：|A| 中去掉第 i 行以及第 j 列元素后的 n-1 阶子式。

代数余子式：A_ij ：A_ij = (-1)^i+j·M_ij

【注】：余子式 / 代数余子式都是 “n-1 阶行列式” 。

考点：

3. 行列式展开定理

行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。

• 按第 i 行展开：|A| = a_i1·A_i1 + a_i2·A_i2 + … + a_in·A_in = ∑_j=1ⁿ a_ij·A_ij

• 按第 j 列展开：|A| = a_1j·A_1j + a_2j·A_2j + … + a_nj·A_nj = ∑_i=1ⁿ a_ij·A_ij

【注】：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即：a_i1·A_j1 + a_i2·A_j2 + … + a_in·A_jn = 0 或 a_1i·A_1j + a_2i·A_2j + … + a_ni·A_nj = 0 。