概率论与数理统计图示（第一章 概率论的基本概念）
1.2概率
1、概念
概率：对随机时间发生可能性大小的客观度量
频率：频率≠概率，只能作为概率估计
古典概率：有限性、等可能性
几何概率：古典概率的推广，将“等可能性”推广至“均匀性”
2、概率公理化定义
1.非负性：0≤P（A）≤1
2.规范性：P（Ω）=1
3.可例（完全）可加性：事例互不相容——事件概率和=事件和概率
3、概率的性质
１） P（Φ）=0
２）有限可加性
３）单调性
４）P（A）＝１－P（A）
５）一般减法公式
- P（A）=P（B）- P（AB）
６）AB不互不相容，一般加法公式
- P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）
- 互不相容则合事件概率＝事件概率做和
4、概率运算的总结
事件运算和概率加减对应
概率相乘/条件概率借与事件独立性相关，不归属于韦恩图能理解的概率运算，而属于条件概率乘法公式
5、条件概率 P（A|B）=P（AB）/P（B）
文字化表述：在事件B 发生的条件下，事件A发生的条件概率
P（A|B）与P（A）没有确定的大小关系
P（A|B）＞P（A），B促进了A的发生
P（A|B）＜P（A），B阻碍了A的发生
P（A|B）＝P（A），B对Ａ的发生没有影响
6、乘法公式 P（AB）=P（B）P（A|B）
求积事件概率
7、样本空间相关公式
样本空间的划分
事件满足互不相容，且并集为整个样本空间，称事件B１，B２，……，Bｎ为样本空间S的一个有限划分
即交是Φ，并是S？概率大于０
应用全概率公示的重点是找到划分
图示：
P（B1）—P（A|B1）—>
P（B2）—P（A|B2）—>P(A)
P（Bn）—P（A|Bn）—>
全概率公式 P(A)＝∑(ｋ＝１－>ｎ)P(Bｋ)Ｐ(A｜Bｋ)
- 证明：
- A包含于S＝∪（ｋ＝１－>ｎ）Bｋ
- A＝A∩S＝∪（ｋ＝１－>ｎ）（Bｋ×A）
- 加法公式P（A）＝∑（ｋ＝１－>ｎ）P（Bｋ×A）
- 乘法公式P（A）＝∑（ｋ＝１－>ｎ）P（Bｋ）Ｐ（A｜Bｋ）
与乘法公式转化：P（AB）＝P（A×１）＝P（A）
应用于知因求果的预测，事前概率
贝叶斯公式
A：结果事件而不是结果事件的概率，Bi：所有相异原因（划分）
P（Bj｜A）：A已经发生条件下，Bj导致其发生的概率
P（ABj）：由Bj导致A的发生的概率
P（A）：A发生的概率/在B1-Bn情况下A发生的概率
1）应用于执果求因的推测，事后概率
先验概率：P（B1）
后验概率：P（B1｜A）
全概率公式：先验概率P（Bi） *P（A｜Bi）求和
贝叶斯公式：后验概率P（B1｜A)
2）贝叶斯公式的理解
一般在通过全概率公式求出后的下一问，分母是作为已发生的作为条件，分子是全概率公式的一项，的条件概率。
仅用条件概率想也没问题。
例：同一题中
（1）全概率公式中的一项： P（B1）P（A|B1）为事前
（2）贝叶斯公式中的分子：P（B1|A）为事后
8、事件的独立性
1）定义公式：
（1）P（Ａ｜Ｂ）=P（A）
（2）P（AB）=P（A）P（B）根本
2）两两独立定义（三条件）：
P（AB）=P（A）P（B）
P（BC）=P（B）P（C）
P（AC）=P（A）P（C）
3）A，B，C相互独立定义（四条件）：
P（AB）=P（A）P（B）
P（BC）=P（B）P（C）
P（AC）=P（A）P（C）
P（ABC）=P（A）P（B）P（C）
4）必然事件和不可能事件与其他事件相互独立
A，B相互独立，则A非与B，A与B非，A非与B非相互独立
9、标准化解答
1）设事件而不是设概率
2）分别求概率
3）写公式名，列公式：乘法公式、全概率公式
答题时把符号和概率值匹配
设事件时说明是一个划分，是相互独立事件（相互独立事件）
10、典型题/技巧
1）若不说明第k次前的取球结果，根据计算，第k次=第1次概率
2）P（A非B非）=P（A并B 非）=1–P（A并B）=1–[P（A）+P（B）—P（AB）]
3）P（A非B）＝P（B－AB）＝P（B）－P（AB）
4）并事件概率表达式P（A１∪A２）＝P（A１）＋P（A２）－P（A１A２）
5）ｎ个交事件概率表达式
独立条件下，P＝１－P（（A１∪A２∪……∪Aｎ）非）＝１－P（A１非A２非……Aｎ非）＝１－P（A１非）P（A２非）……P（Aｎ非）
6）交事件概率表达式
独立条件下，P（A１A２）＝P（A1）P（A2）
7）重点例题
Ai样本空间划分-全概公式
Ci相互独立事件
8）P（相互独立的三划分事件只发生其中一件）=P（C1C2非C3非∪C1非C2C3非∪C1非C非2C3）因互不相容=P（C1C2非C3非）+P（C1非C2C3非）+P（C1非C2非C3）=P（C1）P（C2非）P（C3非）+P（C1非）P（C2）P（C3非）+P（C1非）P（C2）P（C3非）
11、错题
1）概率为1的事件未必是必然事件？
一个点随机落进一个圆内,这个点落不到圆心的概率为：0，但仍可能发生
2）PPT1_3，P18