数学二高数公式总结

时间:2024-10-22 17:32:30

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本篇因为是考试后写的,虽然保不准也算下一次考试前,创作初衷也就今天突然想总结一下之前一直在用的公式,周期可能也就这两天,但参考了一些别人的博文或者帖子,觉得还是与自己想的侧重点有点不太一样,所以就有了上面这张思维导图的大纲,如果不太完整的地方,后期我会去尽量完善,本篇公式有些图是我自己做的,有些是参考文献中引用的几篇知乎帖子,考虑到公式美观性,与参考文献也没有对公式加上水印,所以本篇大部分图片都去除了,希望能作为以后的备用资料。

极限

极限的概念与性质

两个重要极限:
lim ⁡ x → 0 sin ⁡ x x = 1 lim ⁡ x → ∞ ( 1 + 1 x ) x = e \begin{aligned} &\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1\\ \\ &\lim_{x\rightarrow \infty} \left( 1+\frac{1}{x} \right) ^x=\mathrm{e}\\ \end{aligned} x0limxsinx=1xlim(1+x1)x=e

无穷小阶的概念与比较

lim ⁡ x → a f ( x ) g ( x ) = { l ≠ 0  且  ≠ 1 , f ( x )  与  g ( x )  同阶而不等价,  1 , f ( x )  与  g ( x )  等价  0 , f ( x )  比  g ( x )  高阶  ∞ , f ( x )  比  g ( x )  低阶  \lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}= \begin{cases}l \neq 0 \text { 且 } \neq 1, & f(x) \text { 与 } g(x) \text { 同阶而不等价, } \\ 1, & f(x) \text { 与 } g(x) \text { 等价 } \\ 0, & f(x) \text { 比 } g(x) \text { 高阶 } \\ \infty, & f(x) \text { 比 } g(x) \text { 低阶 }\end{cases} xalimg(x)f(x)= l=0  =1,1,0,,f(x)  g(x) 同阶而不等价f(x)  g(x) 等价 f(x)  g(x) 高阶 f(x)  g(x) 低阶 

无穷小阶过程与方式

常用等价无穷小:

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导数

基本求导公式

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n阶导数

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泰勒公式及其应用

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一元微分几何与物理应用

反函数求导公式:
φ ′ ( x ) = d x d y = 1 f ′ ( x ) φ ′ ′ ( x ) = d 2 x d y 2 = − f ′ ′ ( x ) f ′ 3 ( x ) \begin{aligned} &\varphi ^{\prime}(x)=\frac{dx}{dy}=\frac{1}{f^{\prime}(x)}\\ \\ &\varphi ^{\prime\prime}(x)=\frac{d^2x}{dy^2}=-\frac{f^{\prime\prime}(x)}{f^{\prime3}(x)}\\ \end{aligned} φ(x)=dydx=f(x)1φ′′(x)=dy2d2x=f′3(x)f′′(x)

参数方程求导公式:

y = y ( x ) y=y(x) y=y(x)是由 { x = φ ( t ) y = ψ ( t ) \left\{\begin{array}{l} x=\varphi(t) \\ y=\psi(t) \end{array}\right. {x=φ(t)y=ψ(t)所组成的参数方程,则一阶求导为:

d y d x = d y d t d x d t = ψ ′ ( t ) φ ′ ( t ) \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{\psi ^{\prime}(t)}{\varphi ^{\prime}(t)} dxdy=dtdxdtdy=φ(t)ψ(t)

二阶求导为:
d 2 y d x 2 = d ( d y d x ) d x = d d t ( d y d x ) d x / d t = [ ψ ( t ) φ ( t ) ] φ ′ ( t ) = ψ ′ ′ ( t ) φ ′ ( t ) − ψ ′ ( t ) φ ′ ′ ( t ) φ ′ 3 ( t ) \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d\left( \frac{dy}{dx} \right)}{dx}=\frac{\frac{d}{dt}\left( \frac{dy}{dx} \right)}{dx/dt}=\frac{\left[ \frac{\psi (t)}{\varphi (t)} \right]}{\varphi ^{\prime}(t)}=\frac{\psi ^{\prime\prime}(t)\varphi ^{\prime}(t)-\psi ^{\prime}(t)\varphi ^{\prime\prime}(t)}{\varphi ^{\prime3}(t)} dx2d2y=dxd(dxdy)=dx/dtdtd(dxdy)=φ(t)[φ(t)ψ(t)]=φ′3(t)ψ′′(t)φ(t)ψ(t)φ′′(t)

常用曲率计算公式:
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微分中值定理

渐近线

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罗尔定理

定义:

f ( x ) f(x) f(x) [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续,在(a,b)内可导,又 f ( a ) = f ( b ) f(a)=f(b) f(a)=f(b),则 ∃ ξ ∈ ( a , b ) \exists \xi \in \left( a,b \right) ξ(a,b)使得 f ′ ( ξ ) = 0 f^{\prime}\left( \xi \right) =0 f(ξ)=0

图形:
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拉格朗日定理

定义:

f ( x ) f(x) f(x) [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续,在(a,b)内可导,则 ∃ ξ ∈ ( a , b ) \exists \xi \in \left( a,b \right) ξ(a,b)使得 f ( b ) − f ( a ) = f ′ ( ξ ) ( b − a ) f\left( b \right) -f\left( a \right) =f^{\prime}\left( \xi \right) \left( b-a \right) f(b)f(a)=f(ξ)(ba)

图形:
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等价形式:
f ( b ) − f ( a ) = f ′ ( a + θ ( b − a ) ) ( b − a ) , 0 < θ < 1 f(b)-f(a)=f^{\prime}(a+\theta(b-a))(b-a), 0<\theta<1 f(b)f(a)=f(a+θ(ba))(ba),0<θ<1

柯西定理

定义:

f ( x ) f(x) f(x) [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续,在(a,b)内可导且 g ′ ( x ) ≠ 0 g^{\prime}\left( x \right) \ne 0 g(x)=0,则 ∃ ξ ∈ ( a , b ) \exists \xi \in \left( a,b \right) ξ(a,b)使得 f ( b ) − f ( a ) g ( b ) − g ( a ) = f ′ ( ξ ) g ′ ( ξ ) \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)} g(b)g(a)f(b)f(a)=g(ξ)f(ξ),即为:

F ( x ) = f ( x ) − f ( a ) − f ( b ) − f ( a ) g ( b ) − g ( a ) [ g ( x ) − g ( a ) ] F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}[g(x)-g(a)] F(x)=f(x)f(a)g(b)g(a)f(b)f(a)[g(x)g(a)]

定积分与应用

定积分公式

常用分部积分

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伽玛函数积分

(有这一章是因为去年李林卷有很多这方面的题,虽然最后没考但复习了)

伽玛函数基本公式为:

Γ ( α ) = ∫ 0 + ∞ x α − 1 e − x d x = x = t 2 2 ∫ 0 + ∞ t 2 α − 1 e − t 2 d t \Gamma(\alpha)=\int_{0}^{+\infty} x^{\alpha-1} e^{-x} d x \stackrel{x=t^{2}}{=} 2 \int_{0}^{+\infty} t^{2 \alpha-1} e^{-t^{2}} d t Γ(α)=0+xα1exdx=x=t220+t2α1et2dt

下面是一些最常用能直接得出结果的公式:

华莱士公式与相关

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反常积分

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这一节还有很多内容可以重点讲的,因为22真题考得反常积分很有技巧性,不过这里只提基础公式,而且目前我还理解不到位,到时候可以专门写一节这的博客,虽然我当初走了很多弯路,但所幸最后会了,主要是很多机构讲本节内容都一成不变,22命题组应该抓住了这个问题,技巧性碾压了,23一些考研机构希望有所改善。

一元函数积分学的几何应用

1. 面积:
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2.平面曲线弧长:
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3.旋转体体积:
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4.旋转曲面侧面积(x轴):
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5.质心:
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一元函数积分学的物理应用

物理应用主要包括主要包括:变力沿直线做功、液体压力、万有引力、质心、形心以及函数的平均值与均方根。

均匀密度平面图形的质心(形心):

x ˉ = M y M = x ˉ = ∬ D x ρ ( x , y ) d x d y ∬ D ρ ( x , y ) d x d y = ∫ a b x [ f ( x ) − g ( x ) ] d x ∫ a b [ f ( x ) − g ( x ) ] d x \bar{x}=\frac{M_y}{M}=\bar{x}=\frac{\iint_D{x}\rho (x,y)dxdy}{\iint_D{\rho}(x,y)dxdy}=\frac{\int_a^b{x}[f(x)-g(x)]\mathrm{d}x}{\int_a^b{[}f(x)-g(x)]\mathrm{d}x} xˉ=MMy=xˉ=Dρ(x,y)dxdyDxρ(x,y)dxdy=ab[f(x)g(x)]dxabx[f(x)g(x)]dx

y ˉ = M x M = y ˉ = ∬ D y ρ ( x , y ) d x d y ∬ D ρ ( x , y ) d x d y = 1 2 ∫ a b [ f 2 ( x ) − g 2 ( x ) ] d x ∫ a b [ f ( x ) − g ( x ) ] d x \bar{y}=\frac{M_x}{M}=\bar{y}=\frac{\iint_D{y}\rho (x,y)dxdy}{\iint_D{\rho}(x,y)dxdy}=\frac{\frac{1}{2}\int_a^b{\left[ f^2(x)-g^2(x) \right]}\mathrm{d}x}{\int_a^b{[}f(x)-g(x)]\mathrm{d}x} yˉ=MMx=yˉ=Dρ(x,y)dxdyDyρ(x,y)dxdy=ab[f(x)g(x)]dx21ab[f2(x)g2(x)]dx

均匀线密度为 p p p的平面曲线的质心(形心):

自变量为t的参数方程:
x ˉ = ∫ α β φ ( t ) φ ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t ) d t ∫ α β φ ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t ) d t \bar{x}=\frac{\int_{\alpha}^{\beta}{\varphi}(t)\sqrt{\varphi ^{\prime2}(t)+\psi ^{\prime2}(t)}\mathrm{d}t}{\int_{\alpha}^{\beta}{\sqrt{\varphi ^{\prime2}(t)+\psi ^{\prime2}(t)}}\mathrm{d}t} xˉ=αβφ′2(t)+ψ′2(t) dtαβφ(t)φ′2(t)+ψ′2(t) dt

y ˉ = ∫ α β ψ ( t ) φ ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t ) d t ∫ α β φ ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t ) d t \bar{y}=\frac{\int_{\alpha}^{\beta}{\psi}(t)\sqrt{\varphi ^{\prime2}(t)+\psi ^{\prime2}(t)}\mathrm{d}t}{\int_{\alpha}^{\beta}{\sqrt{\varphi ^{\prime2}(t)+\psi ^{\prime2}(t)}}\mathrm{d}t} yˉ=αβφ′2(t)+ψ′2(t) dtαβψ(t)φ′2(t)+ψ′2(t) dt

至于做功、压力、引力还有均方根好像不太好总结,另外不论预测题还是真题的频率也不高,这里先略过。

积分线区域

6.各种线段对应的直角坐标与极坐标图形与表示:
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关于玫瑰线可得到结论为当 n 是奇数时,玫瑰线有 n 个花瓣,称为 n 叶玫瑰。当 n 是偶数时,玫瑰线有 2n 个花瓣,为 2n 叶玫瑰。也可通过maple画出动态图为:

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根据wiki对于Rose curve的解析,引用其里面的例子,具有以下形式的极坐标方程的玫瑰的总面积公式为:

1 2 ∫ 0 2 π ( a cos ⁡ ( k θ ) ) 2 d θ = a 2 2 ( π + sin ⁡ ( 4 k π ) 4 k ) = π a 2 2 1 2 ∫ 0 π ( a cos ⁡ ( k θ ) ) 2 d θ = a 2 2 ( π 2 + sin ⁡ ( 2 k π ) 4 k ) = π a 2 4 \begin{aligned} &\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}{(}a\cos\mathrm{(}k\theta ))^2d\theta =\frac{a^2}{2}\left( \pi +\frac{\sin\mathrm{(}4k\pi )}{4k} \right) =\frac{\pi a^2}{2}\\ \\ &\frac{1}{2}\int_0^{\pi}{(}a\cos\mathrm{(}k\theta ))^2d\theta =\frac{a^2}{2}\left( \frac{\pi}{2}+\frac{\sin\mathrm{(}2k\pi )}{4k} \right) =\frac{\pi a^2}{4}\\ \end{aligned} 2102π(acos(kθ))2dθ=2a2(π+4ksin(4))=2πa2210π(acos(kθ))2dθ=2a2(2π+4ksin(2))=4πa2

其它的就不再这里举例了,李林这里的题目覆盖得很全面。

多元微分

多元微分的偏导定义

偏导数几何定义:

x x x
∂ f ( x 0 , y 0 ) ∂ x = lim ⁡ Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) Δ x \frac{\partial f\left( x_0,y_0 \right)}{\partial x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f\left( x_0+\Delta x,y_0 \right) -f\left( x_0,y_0 \right)}{\Delta x} xf(x0,y0)=Δx0limΔxf(x0+Δx,y0)f(x0,y0)

y y y
∂ f ( x 0 , y 0 ) ∂ y = lim ⁡ Δ y → 0 f ( x 0 , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 , y 0 ) Δ y \frac{\partial f\left( x_0,y_0 \right)}{\partial y}=\lim_{\Delta y\rightarrow 0} \frac{f\left( x_0,y_0+\Delta y \right) -f\left( x_0,y_0 \right)}{\Delta y} yf(x0,y0)=Δy0limΔyf(x0,y0+Δy)f(x0,y0)

高阶偏导数公式:

∂ 2 z ∂ x 2 = ∂ ∂ x ( ∂ z ∂ x ) = f x x ′ ′ ( x , y ) , ∂ 2 z ∂ x ∂ y = ∂ ∂ y ( ∂ z ∂ x ) = f x y ′ ′ ( x , y ) ∂ 2 z ∂ y ∂ x = ∂ ∂ x ( ∂ z ∂ y ) = f y x ′ ′ ( x , y ) , ∂ 2 z ∂ y 2 = ∂ ∂ y ( ∂ z ∂ y ) = f y y ′ ′ ( x , y ) \begin{array}{ll} \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)=f_{x x}^{\prime \prime}(x, y), & \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)=f_{x y}^{\prime \prime}(x, y) \\ \\ \frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)=f_{y x}^{\prime \prime}(x, y), & \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)=f_{y y}^{\prime \prime}(x, y) \\ \end{array} x22z=x(xz)=fxx′′(x,y),yx2z=x(yz)=fyx′′(x,y),xy2z=y(xz)=fxy′′(x,y)y22z=y(yz)=fyy′′(x,y)

复合求导公式(链式法则):

∂ z ∂ x = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ x + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ x ∂ z ∂ y = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ y + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ y \begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x}&=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}\\ \\ \frac{\partial z}{\partial y}&=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}\\ \end{aligned} xzyz=ufxu+vfxv=ufyu+vfyv

雅克比:
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多元函数极值的充要条件

充分条件:

 设  z = f ( x , y )  在点  ( x 0 , y 0 )  的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数, 又  f x ′ ( x 0 , y 0 ) = 0 , f y ′ ( x 0 , y 0 ) = 0 , 令  f x x ′ ′ ( x 0 , y 0 ) = A , f x y ′ ′ ( x 0 , y 0 ) = B , f y y ′ ′ ( x 0 , y 0 ) = C , 则  \text { 设 } z=f(x, y) \text { 在点 }\left(x_{0}, y_{0}\right) \text { 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数, 又 } f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0 \text {, 令 } f_{x x}^{\prime \prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)=A, f_{x y}^{\prime \prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)=B, f_{y y}^{\prime \prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)=C \text {, 则 }   z=f(x,y) 在点 (x0,y0) 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数 fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0 fxx′′(x0,y0)=A,fxy′′(x0,y0)=B,fyy′′(x0,y0)=C 

A C − B 2 = { < 0 , ( x 0 , y 0 )  不是  f ( x , y )  的极值点  > 0 , { A > 0 ,  极小值  A < 0 ,  极大值  = 0 ,  可能取极值, 也可能不取极值, 需另做讨论 (一般用极值定义)  AC-B^{2}= \begin{cases}<0, & \left(x_{0}, y_{0}\right) \text { 不是 } f(x, y) \text { 的极值点 } \\>0, & \left\{\begin{array}{l} A>0, \quad \text { 极小值 } \\ A<0, \quad \text { 极大值 } \end{array}\right. \\ =0, & \text { 可能取极值, 也可能不取极值, 需另做讨论 (一般用极值定义) }\end{cases} ACB2= <0,>0,=0,(x0,y0) 不是 f(x,y) 的极值点 {A>0, 极小值 A<0, 极大值  可能取极值也可能不取极值需另做讨论 (一般用极值定义

必要条件:

某点处两个偏导数等于0

拉格朗日乘数法

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二重积分

二重积分概念

直角坐标:

先对 y y y 后对 x x x
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∬ D f ( x , y ) d σ = ∫ a b d x ∫ ϕ 1 ( x ) ϕ 2 ( x ) f ( x , y ) d y \iint_{D} f(x, y) d \sigma=\int_{a}^{b} d x \int_{\phi_{1}(x)}^{\phi_{2}(x)} f(x, y) dy Df(x,y)dσ=abdxϕ1(x)ϕ2(x)f(x,y)dy

先对 x x x 后对 y y y
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∬ D f ( x , y ) d σ = ∫ α β d y ∫ ψ 1 ( y ) ψ 2 ( y ) f ( x , y ) d x \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma=\int_{\alpha}^{\beta} \mathrm{d} y \int_{\psi_{1}(y)}^{\psi_{2}(y)} f(x, y) \mathrm{d} x Df(x,y)dσ=αβdyψ1(y)ψ2(y)f(x,y)dx

极坐标系:

因为变化很多,所以这里略过。

对称区域二重积分

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二重积分图形域

二重积分的图形域见定积分图形域。本章公式总结内容较少,除了很多我感觉没必要以外,其余的大多都需要结合图形一起表述,比如分块重积分,直接坐标与极坐标相互转换以及坐标轴平移变换,这种没有固定式子可写,题目也往往会出很多不规则的图形进行分割求解,画对图形域,答案就对了大半,22真题我在这里吃了大亏。

微分方程

一阶线性齐次方程

1. 可分离变量的微分方程:

d y   d x = f ( x , y ) , 其中  f ( x , y ) = φ 1 ( x ) φ 2 ( y ) \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=f(x, y) \text {, 其中 } f(x, y)=\varphi_{1}(x) \varphi_{2}(y)  dxdy=f(x,y)其中 f(x,y)=φ1(x)φ2(y)

解法:
d y   d x = f ( x , y ) ⇒ d y   d x = φ 1 ( x ) φ 2 ( y ) ⇒ d y φ 2 ( y ) = φ 1 ( x ) d x ⇒ ∫ d y φ 2 ( y ) = ∫ φ 1 ( x ) d x + C \begin{aligned} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=f(x, y) & \Rightarrow \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\varphi_{1}(x) \varphi_{2}(y) \\ & \Rightarrow \frac{\mathrm{d} y}{\varphi_{2}(y)}=\varphi_{1}(x) \mathrm{d} x \\ & \Rightarrow \int \frac{\mathrm{d} y}{\varphi_{2}(y)}=\int \varphi_{1}(x) \mathrm{d} x+C \end{aligned}  dxdy=f(x,y) dxdy=φ1(x)φ2(y)φ2(y)dy=φ1(x)dxφ2(y)dy=φ1(x)dx+C

2.齐次微分方程
d y   d x = f ( x , y ) , 其中  f ( x , y ) = φ ( y x ) \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=f(x, y) \text {, 其中 } f(x, y)=\varphi\left(\frac{y}{x}\right)  dxdy=f(x,y)其中 f(x,y)=φ(xy)

解法:

3.一阶齐次线性微分方程
d y   d x + P ( x ) y = 0 \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+P(x) y=0  dxdy+P(x)y=0

解法:
y = C e − ∫ P ( x ) d x  (其中  C  为任意常数)  y=C \mathrm{e}^{-\int P(x) d x} \text { (其中 } C \text { 为任意常数) } y=CeP(x)dx (其中 C 为任意常数

非线性微分方程公式

d y   d x + P ( x ) y = Q ( x ) \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+P(x) y=Q(x)  dxdy+P(x)y=Q(x)

解法:

y = [ ∫ Q ( x ) e ∫ P ( x ) d x   d x + C ] e − ∫ P ( x ) d x y=\left[\int Q(x) \mathrm{e}^{\int P(x) d x} \mathrm{~d} x+C\right] \mathrm{e}^{-\int P(x) d x} y=[Q(x)eP(x)dx dx+C]eP(x)dx
(其中 C C C 为任意常数)

微分方程的各种性质

这一小节主要与一些充要条件判断有关,常与方程组联系起来,这里略过,后续可能补充。

高阶线性微分方程

可直接写出表达式:
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表达式推导与高阶方程解法:

Reference:

[1]. /p/200968718

[2]. /p/106252437

[3]. 考研辅导讲义