考研数学高数公式知识点整理

时间：2024-03-01 22:29:51

函数极限与连续

泰勒公式
当\(x\rightarrow x_0\)，有：

\[\begin{array}{l} f(x)=\frac{f(x_0)}{0!}+\frac{f\'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f\'\'(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f\'\'\'(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+...+\\\\ \hspace{1cm}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x) \end{array} \]

麦克劳林公式
当\(x_0=0\)时，泰勒展开式的一种特殊情况：

\[\begin{array}{l} f(0)=\frac{f(0)}{0!}+\frac{f\'(0)}{1!}x+\frac{f\'\'(0)}{2!}x^2+\frac{f\'\'\'(0)}{3!}x^3+...+\\\\ \hspace{1cm}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+R_n(x) \end{array} \]

根据麦克劳林展开式，有：

\[\begin{array}{l} e^x=1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x+o(x^3)\hspace{1.5cm} ln(1+x)=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+o(x^3)\\\\ sinx=x-\frac{1}{3!}x^3+o(x^3)\hspace{2.7cm} arcsinx=x+\frac{1}{3!}x^3+o(x^3)\\\\ cosx=1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4+o(x^4)\hspace{1.5cm} (1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+o(x^2)\\\\ tanx=x+\frac{1}{3!}x^3+o(x^3)\hspace{2.6cm} arctanx=x-\frac{1}{3!}x^3+o(x^3) \end{array} \]

判断是否正负相间技巧：
若图像爆炸式增长，则恒正，\(e^x\)
若图像上下波动或增长缓慢，则正负相间，如：\(sinx,cosx\)
泰勒展开本身就是用展开高阶项的过程，所以高阶复合子函数不用再求导，直接代入就行,如\(e^{x^{50}}=1+x^{50}+(x^{50})^2+...\)

1618477134(1).png

极限推导：

  1. \(\large 1^\infty型:\)

    \(\begin{array}{l} I=\lim g(x)^{f(x)}，若g(x)\rightarrow1,f(x)\rightarrow\infty,\\\\则令A=\lim f(x)[g(x)-1],I=e^A \end{array}\)

  2. \(\large \frac{0}{0}型:\)

    • \(sinx\sim tanx\sim arcsinx\sim arctanx\sim x\)

    • \(x-sinx\sim \frac16x^3 \hspace{1cm}x-arcsinx=-\frac16x^3\)

    • \(x-tanx\sim -\frac13x^3\hspace{0.8cm}x-arcsinx=\frac13x^3\)

    • \(1-cosx\sim \frac12x^2\hspace{0.8cm}1-cos^{a}x\sim \frac{a}{2}x^2\)

    • \(a^x-1\sim xlna\)

    • 洛必达法则

  3. \(\large \frac{\infty}{\infty}型:\)

    1. 都是幂指数的形式，可以提出最高次项，极限值就是最高次项的系数之比
    2. 洛必达法则

比阶：

若\(x \rightarrow 0\)时，\(f(x)\)和\(g(x)\)分别是\(x\)的\(m、n\)阶无穷小，则：

  1. \(f(x)g(x)是x的m+n阶无穷小\)

  2. \(若m>n,则\frac{f(x)}{g(x)}是x的m-n阶无穷小\)

  3. \(m>n时，f(x)\pm g(x)是x的n阶无穷小\)

  4. \(m=n时，f(x)\pm g(x)是x的n阶或高于n阶无穷小\)

  5. \(\int_{0}^{g(x)}f(t)dt是x的(m+1)n阶无穷小\)

增长速度：

\(x\rightarrow\infty,a<log_ax<x<a^x<x!<x^x\)

洛必达易错点：

  1. 洛必达结果不存在，则不能使用洛必达
  2. 分子分母必须连续可导，否则不能使用洛必达

其他结论：

1.\(\begin{cases} \lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\sqrt[n] {a_1^n+a_2^n+...+a_m^n}=max\{a_1,a_2...,a_m\}\\ \lim\limits_{n\rightarrow-\infty}\sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+...+a_m^n}=min\{a_1,a_2...,a_m\} \end{cases}(a_1...a_m都是非负数)\)

2.\(\int_{0}^{+\infty}e^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\)

3.\(\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a}\quad（a>0）\)

二、数列极限

单调性

导数相关

基本求导公式：
特殊求导：
导数定义
高阶求导公式

扩展：题目可以出成\(f(x,y)\)对\(x\)求n阶偏导

带拉格朗日余项的\(n\)阶泰勒公式

其他结论
https://zhuanlan.zhihu.com/p/200968718?utm_source=wechat_timeline