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- 取数游戏
- 题目描述
- 背景
- 输入
- 输出
- 数据范围
- 题解
- 解法
- 优化
- 打赏
取数游戏
题目描述
背景
两人将 n n n个正整数围成一个圆环,规则如下:
- 第一名玩家随意选取数字;
- 第二名玩家从与第一名玩家相邻的两个数字中选择一个;
- 而后依次在到目前为止所取的任何数字旁边取一个数字,直到数字用完,选择更多奇数的玩家获胜
第一个选取数字的玩家想知道他能做出多少不同的第一步,使他有机会获胜
输入
- 第一行一个整数 n n n;
- 第二行 n n n个整数 n u m i num_i numi,表示围在地上的数字
输出
输出一个整数,表示有机会获胜的不同的第一步的数量
数据范围
1 ≤ n ≤ 100 , 1 ≤ n u m i ≤ 1000 1 \le n \le 100 , 1 \le num_i \le 1000 1≤n≤100,1≤numi≤1000
题解
解法
由于要算的是有机会获胜的不同第一步的数量,所以对于每个可能的第一步,只要后续所有选择情况中,第一名玩家获得最多奇数的那一种情况下超过了第二名玩家即可
为此可以定义一个二维数组
f
[
]
[
]
f[][]
f[][],
f
[
i
]
[
j
]
f[i][j]
f[i][j]表示在第
i
i
i至
j
j
j个数已经被选择后(
i
i
i可以大于
j
j
j),直到所有数都被选择,该过程中第一名得到的奇数最多可超出第二名多少
使用动态规划来更新这个数组,先由大到小枚举已经被选的数的数量
i
(
n
−
1
≥
i
≥
1
)
i(n - 1 \ge i \ge 1)
i(n−1≥i≥1),再枚举被选数的区间,定义变量
l
,
r
l , r
l,r表示枚举到的区间的左右边界下标,变量
l
l
,
r
r
ll , rr
ll,rr分别表示表示圆环中
l
l
l的前一个数和
r
r
r的后一个数,再根据
i
+
1
i + 1
i+1的奇偶判断接下来是第一名还是第二名玩家选数,这样就得到了状态转移方程:
f
[
l
]
[
r
]
=
m
a
x
(
f
[
l
l
]
[
r
]
±
n
u
m
[
l
l
]
%
2
,
f
[
l
]
[
r
r
]
±
n
u
m
[
r
r
]
%
2
)
f[l][r] = max(f[ll][r] \pm num[ll] \% 2 , f[l][rr] \pm num[rr] \% 2)
f[l][r]=max(f[ll][r]±num[ll]%2,f[l][rr]±num[rr]%2)(
i
+
1
i + 1
i+1为奇时取
+
+
+,反之取
−
-
−)
全部更新完后,统计满足
f
[
i
]
[
i
]
+
n
u
m
[
i
]
%
2
>
0
f[i][i] + num[i] \% 2 > 0
f[i][i]+num[i]%2>0(因为第一个数一定是第一名玩家选的)的
i
i
i有几个即可
代码如下:
#include<cstdio>
#define il inline
const int M = 105;
int f[M][M], num[M];
int main() {
int n, ans = 0;
scanf("%d%", &n);
for(int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d%", &num[i]);
for(int i = n - 1; i >= 1; --i) {
if(i % 2 ^ 1) //等于(i + 1)%2
for(int l = 1, r = i; l <= n; ++l) {
int ll = l - 1 ? l - 1 : n, rr = r + 1 <= n ? r + 1 : 1;
int s1 = f[ll][r] + num[ll] % 2, s2 = f[l][rr] + num[rr] % 2;
f[l][r] = s1 > s2 ? s1 : s2, r = rr;
}
else for(int l = 1, r = i; l <= n; ++l) {
int ll = l - 1 ? l - 1 : n, rr = r + 1 <= n ? r + 1 : 1;
int s1 = f[ll][r] - num[ll] % 2, s2 = f[l][rr] - num[rr] % 2;
f[l][r] = s1 < s2 ? s1 : s2, r = rr;
}
}
for(int i = 1; i <= n; ++i) ans += num[i] % 2 + f[i][i] > 0;
printf("%d", ans);
return 0;
}
优化
可以发现全程只用到了
n
u
m
[
i
]
num[i]
num[i]的奇偶性,所以可以在输入时就把
n
u
m
[
i
]
num[i]
num[i]处理成
0
0
0或
1
1
1,这样
n
u
m
[
]
num[]
num[]只需要为
b
o
o
l
bool
bool数组
代码如下:
#include<cstdio>
#define il inline
const int M = 105;
il int read() {
int x = 0;
char c = getchar();
while(c < '0' || c > '9') c = getchar();
while(c >= '0' && c <= '9') x = (x << 1) + (x << 3) + (c ^ 48), c = getchar();
return x;
}
bool num[M];
int f[M][M];
int main() {
int n = read(), ans = 0;
for(int i = 1; i <= n; ++i) num[i] = read() % 2;
for(int i = n - 1; i >= 1; --i) {
if(i % 2 ^ 1)
for(int l = 1, r = i; l <= n; ++l) {
int ll = l - 1 ? l - 1 : n, rr = r + 1 <= n ? r + 1 : 1;
int s1 = f[ll][r] + num[ll], s2 = f[l][rr] + num[rr];
f[l][r] = s1 > s2 ? s1 : s2, r = rr;
}
else for(int l = 1, r = i; l <= n; ++l) {
int ll = l - 1 ? l - 1 : n, rr = r + 1 <= n ? r + 1 : 1;
int s1 = f[ll][r] - num[ll], s2 = f[l][rr] - num[rr];
f[l][r] = s1 < s2 ? s1 : s2, r = rr;
}
}
for(int i = 1; i <= n; ++i) ans += num[i] + f[i][i] > 0;
printf("%d", ans);
return 0;
}
打赏
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