微分中值定理
罗尔中值定理：如果函数f(x)满足：
在闭区间[a,b]上连续；
在开区间(a,b)内可导；
在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，
那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使得 f’(ξ)=0.
几何上，罗尔定理的条件表示，曲线弧 （方程为 ）是一条连续的曲线弧 ，除端点外处处有不垂直于x轴的切线，且两端点的纵坐标相等。而定理结论表明：
弧上至少有一点 ，曲线在该点切线是水平的（导数值为0）。
拉格朗日中值定理：
如果函数 f(x) 满足：
1)在闭区间[a,b]上连续；
2)在开区间(a,b)内可导。
那么：在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，
使等式 f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a) 成立。
拉格朗日中值定理的几何意义是：曲线上必然存在至少一点，过该点的切线的斜率和连接曲线（a，b）的割线的斜率相同；或者说，曲线上必然存在至少一点可以做割线（a，b）的平行线。
柯西中值定理：如果函数f(x)及F(x)满足
(1)在闭区间[a,b]上连续；
(2)在开区间(a,b)内可导；
(3)对任一x∈(a,b)，F’(x)≠0
那么在(a,b) 内至少有一点ξ，使等式
[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f’(ξ)/F’(ξ)
成立
[中值定理]分为： 微分中值定理和积分中值定理：
以上三个为微分中值定理定积分第一中值定理为：
f(x)在a到b上的定积分等于f(ξ)(b-a)（存在ξ∈[a,b]使得该式成立）
注：积分中值定理可以根据介值定理推出所以同样ξ∈[a,b]都为闭区间。
泰勒公式
泰勒公式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f（x）利用关于（x-x0）的n次多项式来逼近函数的方法。
若函数f（x）在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间（a,b）上具有（n+1）阶导数，则对闭区间[a,b]上任意一点x，成立下式：
f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+f’’(x0)(x-xo)平方/2!+…+f(n阶导数)(x0)（x-x0)n次方/n!+o((x-x0)n次方）。
麦克劳林公式：f(x)在x0处的泰勒多项式中，x0为0时，此时的泰勒公式称为麦克劳林公式。
Rn(x)=o((x-x0)的n次方为佩亚诺余项。
泰勒展开的唯一性：只要能把一个函数写成多项式，那么这个多项式就是泰勒展开。
可以用泰勒展开估计无穷小量的阶。同阶无穷小相减，一般少掉一阶。可以利用泰勒公式求同阶无穷小。求极限本质上为阶的比较问题，可以用泰勒公式计算。
泰勒公式的余项估计
当x0≠0时，为拉格朗日余项。一般选择离需要估计的点较近的x0来估计，这样误差更小。
可以使用拉格朗日余项来估计误差，并根据要求的误差选择展开多少项。
函数的凹凸性
1、f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2) ， 即V型，为“凸向原点”，或“下凸”（也可说上凹），（有的简称凸有的简称凹）
2、f(λx1+(1-λ)x2)>=λf(x1)+(1-λ)f(x2) ， 即A型，为“凹向原点”，或“上凸”（下凹），（同样有的简称凹有的简称凸）。
如果函数f(x)在区间I上二阶可导，则f(x)在区间I上是凸函数的充要条件是f’’(x)<=0;f(x)在区间I上是凹函数的充要条件是f’’(x)>=0，f’’(x)在(a,b)的任意子区间上都不恒等于0;
![赫尔德不等式]
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当赫尔德不等式，p,q为1/2时，此时为柯西不等式，它表明n维空间中两个向量的夹角的余弦值≤1.
渐近线
渐近线是指：曲线上一点M沿曲线无限远离原点或无限接近间断点时，如果M到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。可分为垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线。
求渐近线，可以依据以下结论：
双曲线两渐近线夹角一半的余弦等于a/c且2c为两焦点的距离，2a为轨迹上的点到焦点的距离差。
若极限f(x)/x,x趋近于无穷存在，且极限lim[f(x)－ax,x→∞]=b也存在，那么曲线y=f(x)具有渐近线y=ax+b。
例：求 渐近线。
解：(1)x = - 1为其垂直渐近线。
(2) ，即a = 1；
，即b = - 1；
所以y = x - 1也是其渐近线。
函数的作图方法
考察函数定义域，及其在定义域内的连续性，可微性。如果有间断点、不可微点、需将这些点的函数值（如果存在的话）计算出来，并且描绘出相应的点。在间断点附近还需要弄清左右极限。
求出函数的导函数，找出稳定点、单调区间和极值点。
求出二阶导数，确定凹凸性和拐点（凹凸性改变的点）
在定义域不是有穷区间的情况下，考虑x趋向于正无穷或者负无穷的函数变化趋势，特别是考虑有无渐近线。
极值
定义：若函数f(x)在x₀的一个邻域D有定义，且对D中除x₀的所有点，都有f(x)<f(x₀)，则称f(x₀)是函数f(x)的一个极大值。
同理，若对D的所有点，都有f(x)>f(x₀)，则称f(x₀)是函数f(x)的一个极小值。
费马定理：设f(x)在[a,b]上连续，则根据闭区间上连续函数的性质，f(x)必能在[a,b]上取得它的最大值M和最小值m，设M>m，由于f(a)=f(b)，故至少有一个最值不在a和b处取得，即至少有一个最值点位于开区间(a,b)内，这样的点ξ当然也是f(x)的极值点，若再假设f(x)在(a,b)内可导，则根据费马引理有f’(ξ)=0。
将导数为零的点称为驻点，也称稳定点或者临界点。稳定点不一定为极值点。
一般地，设一连续函数 f(x) 的定义域为D，则
如果对于属于定义域D内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2∈D且x1>x2，都有f(x1) >f(x2)，即在D上具有单调性且单调增加，那么就说f(x) 在这个区间上是增函数。
相反地，如果对于属于定义域D内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2∈D且x1>x2，都有f(x1) <f(x2)，即在D上具有单调性且单调减少，那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数。
还可通过极值点左右一阶导数的正负判断该点为极大值还是极小值。
f’’(x)大于零则为凸函数，f’’(x)大于零则为凹函数。