信号与系统公式笔记（4）

截图基本上都是来自b站av5868266，齐开悦博士的讲义。
之前的笔记（第二章）重要的是两点：微分方程和卷积（微分方程要理解好，卷积熟练会用就行）。

这次主要是关于连续信号的傅里叶分析（教材里面有三大变换：傅里叶、拉普拉斯、Z，拉普拉斯其实是连续傅里叶的推广，Z其实是离散傅里叶变换的推广。重点还是三大变换）。

重点内容：

连续时间周期信号的傅里叶级数
连续时间建立傅里叶变换
傅里叶级数与傅里叶变换之间的关系
傅里叶变换的性质
系统的频率响应及系统的频域分析
采样（抽样）及采样（抽样）处理
计算傅里叶系数的公式

这一章要解决的问题：对非周期信号应该如何进行分解、什么是非周期信号的频谱表示

傅里叶变换的思想：
1. 周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信号的加权和
2. 非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来表示

成谐波关系的复指数信号集： $ϕ_{k} (t) = e^{j k ω_{0} t}$ ，这些信号的公共周期是 $\frac{2 π}{| ω_{0} |}$ 。
将所有信号线性组合（类似上面的思想）：

x (t) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} a_{k} e^{j k ω_{0} t}

其实上面这个就是傅里叶级数， $a_{k}$ 就是傅里叶级数的系数。
可以总结成：连续时间周期信号可以分解成无数多个复指数的谐波分量。

傅里叶级数的系数 $a_{k}$ 就是信号分量的幅度，所以可以用这些幅度画成频谱。
频谱图：
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补充个欧拉公式：

e^{j ω t} = \cos ω t + j \sin ω t

经常用这个公式在复指数和三角函数之间转换，所以必须要记。

三角函数集：
$\cos (n ω_{1} t), \sin (n ω_{1} t)$ 是完备的正交函数集，具体的证明可以看教材，其实就是几个三角函数相乘，然后在一个周期内积分的证明（因为是正交的，所以积分结果为0）。

完备正交函数集指的是除了花括号里面括起来的那一对以外，集合里面没有别的函数能与这一对正交（ $n$ 可以取任意整数）。

在满足狄氏条件的前提下可以将指数级数展开成三角形式（记公式）。
公式：

f (t) = a_{0} + \sum_{n = 1}^{\infty} [a_{n} \cos (n ω_{1} t) + b_{n} \sin (n ω_{1} t)]

上面的系数用下面的公式求出来
直流分量

a_{0} = \frac{1}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0} + T} f (t) d t

余弦分量的幅度

a_{n} = \frac{2}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0} + T} f (t) \cos (n ω_{1} t) d t

正弦分量的幅度

b_{n} = \frac{2}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0} + T} f (t) \sin (n ω_{1} t) d t

补充一下，上面式子里面的

\frac{2}{T}

其实就是

\int_{t}^{t + T} \sin m ω_{1} \sin n ω_{1} t d t = \frac{T}{2}, m = n \neq 0

，下面的复指数公式里面出现的

\frac{1}{T}

其实也差不多
例题：齐开悦博士第三章课件例1

其他形式：
用公式直接转化成只有正弦或者余弦表达的形式
用到的公式
余弦形式：

f (t) = c_{0} + \sum_{n = 1}^{\infty} c_{n} \cos (n ω_{1} t + φ_{n})

里面的系数可以用下面公式求

c_{0} = a_{0} c_{n} = \sqrt{a_{n}^{2} + b_{n}^{2}} φ_{n} = \arctan (\frac{- b_{n}}{a_{n}})

可以联想成三角形来记
反过来

a_{n} = c_{n} \cos φ_{n} b_{n} = - c_{n} \sin φ_{n}

正弦形式

f (t) = d_{0} + \sum_{n = 1}^{\infty} d_{n} \sin (n ω_{1} t + θ_{n})

系数

d_{0}

、

d_{n}

和余弦的差不多，其他可以用下面的公式来求：

θ_{n} = \arctan (\frac{b_{n}}{a_{n}})

反过来

a_{n} = d_{n} \sin (θ_{n}) b_{n} = d_{n} \cos (θ_{n})

其实上面用的还是三角函数合并用到的公式，实在记不得也可以推导出来，只是记得的话方便一点。

这样就可以把周期信号分解成直流、基波（ $ω_{1}$ ）和各次谐波（ $n ω_{1}$ ：基波角频率的整数倍）的线性组合。

然后用 $c_{n} ω$ 关系画成幅度频谱图
$φ_{n} ω$ 关系画成相位频谱图（这些符号代表的意思上面的公式里面都有）

周期信号频谱具有离散性、谐波性、收敛性。

指数形式的傅里叶级数

复指数正交函数集 $e^{j n ω_{1} t} n = 0, \pm 1, \pm 2 \dots$
级数形式：

f (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} F (n ω_{1}) e^{j n ω_{1} t}

上面公式里面的

F (n ω_{1})

系数用下面这个公式来确定：

F (n ω_{1}) = \frac{\int_{0}^{T_{1}} f (t) e^{- j n ω_{1} t} d t}{\int_{0}^{T_{1}} e^{j n ω_{1} t} e^{- j n ω_{1} t} d t} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T_{1}} f (t) e^{- j n ω_{1} t} d t

其实

F (n ω_{1})

也可以写成

F_{n}

。

上面复指数和三角函数之间可以直接用欧拉公式进行转换。
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上面公式里面出现了 $- 1$ 是因为 $j * j = - 1$ ， $\sin$ 部分多了个 $j$ 。
欧拉公式：

e^{j ω t} = \cos ω t + j \sin ω t

了解就行。

上面几个系数之间的关系
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上图中奇偶函数的定法可以直接看原公式得出。

总结
周期信号 $f (t)$ 胡傅里叶级数两种形式：
三角形式：

f (t) = a_{0} + \sum_{n = 1}^{\infty} [a_{n} \cos (n ω_{1} t) + b_{n} \sin (n ω_{1} t)] = c_{0} + \sum_{n = 1}^{\infty} c_{n} \cos (n ω_{1} t + φ_{n})

其实最后面也可以转成

\sin

的形式

指数形式：

f (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} F (n ω_{1}) e^{j n ω_{1} t}

两种频谱图的关系
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注意画频谱图的时候用的是 $c_{n} ω$ ，不是 $d_{n}$ ，所以要吧 $\sin$ 的部分转成 $\cos$ 。

基本上就是套上面的公式。

指数形式频谱里面出现的负频率的存在只是为了使公式有数学意义，其实没有物理意义，是用来保证 $f (t)$ 的实函数性质。

傅里叶级数有三个性质
收敛性（ $n ↑, | F (n ω_{1}) | ↓$ ）
谐波性/离散性
唯一性（ $f (t)$ 谱线唯一）

补充：冲激函数序列的频谱不满足收敛性。

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