目录
1. 随机变量的数学期望
- 随机变量的数字特征
1）数学期望
2）方差
3）协方差与相关系数
4）其他数字特征
5）多元正态分布的性质
- 例题
- 定义
设离散型随机变量X的分布律为：
,若级数
绝对收敛，则称级数的值为随机变量X的数学期望，记为E(X)，即：
可以理解为“加权平均”中
的权重，数学期望简称期望，又叫均值。
设连续型随机变量X的概率密度函数为f(x),若积分
绝对收敛（即
）,则称积分的值为随机变量X的数学期望，即：
- 例题
还可以得到：
1）二项分布B(n,p)的期望为np
2）参数为p的几何分布的期望为1/p
3) 均匀分布U(a,b)的期望为(a+b)/2
2. 随机变量函数的数学期望
- 定理1
设Y是随机变量X的函数：Y=g(X),X是离散型随机变量，他的分布律为,若
绝对收敛，则
.
设Y为随机变量X的函数：Y=g(X),X是连续型随机变量，他的概率密度函数为f(x),若
绝对收敛，则
.
定理的重要意义在于我们求E(Y)时，不必求出Y的分布律或概率密度函数，而只要利用X的分布律或概率密度函数以及Y与X之间的关系就行了。
该定理也可以推广到两个或两个以上随机变量的函数的情况。
- 定理2
设Z是随机变量X，Y的函数：Z=h(X,Y),若二元离散型随机变量(X,Y)的分布律为：
,则
设Z是随机变量X，Y的函数：Z=h(X,Y),若二元连续型随机变量(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)则
.特别地，
,
.
3. 数学期望的性质
- 性质
1）设c是常数，则E(c) = c
2) 设X是一个随机变量，c是常数，则E(cX) = cE(X)
3) 设X，Y是两个随机变量，则E(X+Y) = E(X) + E(Y),把(1)-(3)结合起来有E(aX+bY+c) = aE(X)+bE(Y)+c；可以推广到任意有限个随机变量线性组合的情况：
4) 设X，Y是相互独立的两个随机变量，则有：
,可以推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情况：
其中
相互独立。
- 证明
- 例题
将X分解成数个随机变量之和，然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望之和来求。
4. 方差定义和计算公式
随机变量X的均值/期望：E(X)
X对于均值的离差：X-E(X)
X对于均值的平均离差：E(X-E(X))
反应随机变量波动性可以用方差：
- 定义
设X是一个随机变量，若存在，称其为X的方差，记作D(X)或Var(X),即：
把
记作
,称为X的标准差或均方差。
D(X)和刻画了X取值的波动性, 是衡量X取值分散程度的数字特征.若D(X)较小，则X取值比较集中；反之，若D(X)较大，则说明X取值比较分散。是与随机变量X具有相同量纲的量。
注意到，当取
，则D(X)=E(g(X))
对于离散型随机变量X，其分布律为
,则
.
对于连续型随机变量X，其概率密度函数为f(x),则
利用数学期望的性质，可得方差的计算公式:
- 例题
