设计FIR滤波器
引
数字滤波器(一)–IIR与FIR的基本结构与MATLAB实现
数字滤波器(二)–最小相位延时系统和全通系统
数字滤波器(三)–模拟滤波器的设计
数字滤波器(四)–模拟滤波器转化为数字滤波器
数字滤波器(五)–设计IIR滤波器
1. 线性相位FIR滤波器
1.1 相位与特点
FIR滤波器的单位冲激响应h(n)为有限长序列,滤波器的一般形式为:
其系统函数一般形式为:
在有限z平面内,有N-1个零点,在原点z=0处有N-1阶极点
系统的频率响应为:
其中是相位特性,是频率w的线性函数。相位特性对w的导数就是系统的群延时。
1.2 幅度函数的特点
研究线性相位FIR滤波器幅度函数的特点时,有两种分类方法:
- 根据h(n)的奇、偶对称性分类
- 根据N的长度为奇、偶分类
下表为对上述的分类方法的总结:
1.3 FIR滤波器的零点
FIR滤波器的零点是以共轭对存在的,如果存在零点,那么肯定存在零点,,。假设, k为常数,根据r和的取值,零点可分为以下四种情况:
2. 窗函数设计法
2.1 窗函数设计原理
理想滤波器的单位冲激响应应该是无限长的非因果序列,这在实际生活中无法实现,只能用有限长的序列去近似无限长的。最简单的方法就是直接截取的一部分作为,这可以通过与窗函数相乘的形式做到:
2.2 窗函数的设计思路
以理想的低通滤波器为例:
是一个无限长的以为中心的偶对称非因果序列。
假设此处窗函数为矩形函数:
可得
可以看到,时域加窗之后,时域阶段,频域出现了频谱泄露的现象
加窗处理对理想频率响应的影响:
- 加窗改变了理想频率响应的边沿特性,形成了过渡带,过渡带的宽度等于窗函数的主瓣宽度:
- 过渡带两侧产生了肩峰和余振,这些取决于窗函数的旁瓣,旁瓣多则震荡多,旁瓣相对大则肩缝强度大,与N无关
- 改变N,只能改变窗函数主瓣的宽度,不能改变窗函数主瓣和旁瓣的比例关系,也就是说,无法改变肩峰的相对值。增大N,其最大肩峰总是8.95%,称为吉布斯现象
肩峰的大小决定了滤波器通带内的平稳程度和阻带内的衰减速度,对滤波器的性能有很大影响,因此,选择不同的窗函数,可以得到不同性能的滤波器。
2.3 窗函数的选择与常用的窗函数
窗函数的选取要尽量满足两个要求:
- 窗函数的主瓣要尽可能窄,以获得较陡的过渡带
- 相对于主瓣幅度,旁瓣要尽可能小,是的能量尽量集中在主瓣中这样就可以尽量减少肩峰和余振,以提高阻带的衰减和通带的平稳性。
然后这两者是矛盾的,一般总是通过增加主瓣宽度来换取对旁瓣的抑制。
常用的窗函数: