数各进制间的转换

• 概述
• 十进制转换至非十进制
  • 十进制转换为二进制
    • 整数部分
    • 小数部分
  • 十进制转换为八进制
    • 整数部分
    • 小数部分
  • 十进制转十六进制
    • 整数部分
    • 小数部分
• 非十进制转换为十进制
  • 二进制转换为十进制
    • 整数部分
    • 小数部分
  • 八进制转换为十进制
    • 整数部分
    • 小数部分
  • 十六进制转换为十进制
    • 整数部分
    • 小数部分
• 非十进制转换为非十进制
  • 二进制、八进制、十六进制互相转换
    • 二进制与十六进制互相转换
    • 二进制与八进制互相转换
    • 八进制与十六进制互相转换
  • 其他进制的互相转换

概述

众所周知计算机使用的是二进制，而人类使用的是十进制，因此掌握进制的转换就非常重要了。

在计算机中常用的进制有二进制、八进制、十六进制。

它们之间互相转换需要遵循一定规则来计算。下文将详细介绍其转换的方式。

大体上分为三类：

• 十进制转为非十进制
• 非十进制转为十进制
• 非十进制转为非十进制

十进制转换至非十进制

十进制转换为其他进制，一句话方法：整数部分——除基取余，倒序拼接余数；对于小数部分——乘基取整，正序拼接整数。

整数小数复合的，分别计算后将结果拼接起来即可。整数部分和小数部分略有不同，小数部分是有可能出现无限循环的情况，这是时候就要按照其精度来决定计算多少步，基数指的就是进制。

十进制转换为二进制

整数部分

将十进制数除以2，得到商和余，然后将商继续除以2，得余，以此类推，直到商小于2，然后将每一步的余数倒序的拼接起来，就得到了正确的二进制。设有十进制数：249，计算过程如下：

最终将余数倒序拼接起来，即得到了其二进制数：(11111001)~2~。

小数部分

将十进制数乘以2，然后将整数部分取出来当结果，小数部分继续乘以2，以此类推，直到达到精度或小数变为0时停止，然后将每一步的整数正序拼接就得到了二进制小数。设有十进制数：0.390625，计算过程如下：

最终将整数部分正序拼接，就得到了二进制小数：(0.011001)~2~。注意，别遗漏了小数点。

十进制转换为八进制

计算过程与二进制类似，只不过是基数不同，对其细节不在赘述，只给出计算过程。

整数部分

设有十进制数：250，计算过程如下：

倒序拼接余数，得到八进制数：(372)~8~。

小数部分

设有十进制数：0.53125，计算过程如下：

正序拼接整数，得到八进制小数：(0.42)~8~。

十进制转十六进制

整数部分

设有十进制数：3564，计算过程如下：

倒序拼接余数，得到十六进制数：(DEC)~16~。

小数部分

设有十进制数：0.872802734375，计算过程如下：

正序拼接整数，得到十六进制小数：(0.DF7)~16~。

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非十进制转换为十进制

很容易就可以想到这是十进制转为非十进制的逆运算，将非十进制数按位分开，每位分别乘以基数^权值^后相加即可得到结果。

对于整数部分，非十进制数的位数设为n，那么整数的最小位（最右边）的权值为0，最高位（最左边）的权值为n-1。

对于小数部分，非十进制小数的位数设为n，那么小数最高位（最左边）的权值为-1，最低位（最右边）的权值为-n。

对应的，对于混合的数字分别结算后拼接在一起即可。

二进制转换为十进制

整数部分

设有二进制数：101101101，计算过程如下：

1∗28+0∗27+1∗26+1∗25+0∗24+1∗23+1∗22+0∗21+1∗20$$1\ast 2^8+0\ast 2^7+1\ast 2^6+1\ast 2^5+0\ast 2^4+1\ast 2^3+1\ast 2^2+0\ast 2^1+1\ast 2^0$$

得出其结果为：(365)~10~。

小数部分

设有二进制小数：0.10111，计算过程如下：

1∗2−1+0∗2−2+1∗2−3+1∗2−4+1∗2−5$$1\ast 2^{-1}+0\ast 2^{-2}+1\ast 2^{-3}+1\ast 2^{-4}+1\ast 2^{-5}$$

得出其结果为：(0.71875)~10~。

八进制转换为十进制

整数部分

设有八进制数：672，计算过程如下：

6∗82+7∗81+2∗80$$6\ast 8^2+7\ast 8^1+2\ast 8^0$$

得出其结果为：(442)~10~。

小数部分

设有八进制小数：0.467，计算过程如下：

4∗8−1+6∗8−2+7∗8−3$$4\ast 8^{-1}+6\ast 8^{-2}+7\ast 8^{-3}$$

得出其结果为：(0.607421875)~10~

十六进制转换为十进制

整数部分

设有十六进制数：F7D2，计算过程如下：

15∗163+7∗162+13∗161+2∗160$$15\ast {16}^3+7\ast {16}^2+13\ast {16}^1+2\ast {16}^0$$

得出其结果为：(63442)~10~。

小数部分

设有十六进制小数：0.3FC，计算过程如下：

3∗16−1+15∗16−2+12∗16−3$$3\ast {16}^{-1}+15\ast {16}^{-2}+12\ast {16}^{-3}$$

得出其结果为：(0.2490234375)~10~。

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非十进制转换为非十进制

对于2、8、16进制的整数，他们有很便利的对应转换方式。而其他进制，则需要先转换为10进制，再从10进制转换到目标进制，当然其他进制互相转换理论上也应该存在着便利方法，可以探究一下。

二进制、八进制、十六进制互相转换

除了与十进制转换之外，二、八、十六进制互转也是最常使用的转换。因此总结出了一些快捷方法。先来看一个对应关系表：

十进制	二进制	八进制	十六进制
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F

仔细观察，就可以发现，二进制、八进制、十六进制之间有着明显的对应关系。我们可以将二进制数位按组划分来快速计算，这里有句简单的口诀：八四二一。

对于小数同样适用。

二进制与十六进制互相转换

对于整数，将二进制按4位1组从右往左划分，对于小数，将二进制按4位1组从左往右划分，每4位二进制对应十六进制1位，反之亦然，每1位十六进制对应4位二进制。

二进制	1	1	1	1
对应的值	8	4	2	1

也就是说，如有二进制数：10111000，计算过程如下：

将其分为两组：1011 1000，然后按位转化：

1011 => 8 + 2 + 1 = 11 = B

1000 => 8 = 8

所以十六进制结果是：(B8)~16~。

如果二进制位数不足4位，前补0计算，对于小数而言，方向相反。

如二进制：110111100.011001，加粗部分为所需补的0，计算过程如下：

整数部分：

将其分为三组：1 1011 1100，然后按位转化

0001 => 1 = 1

1011 => 8+2+1 = 11 = B

1100 => 8+4 = 12 = C

小数部分：

将其分为两组（注意方向的不同）：0110 01

0110 => 4+2 = 6

0100 => 4

所以十六进制结果是：(1BC.64)~16~。

这个过程反之亦然，所以如有十六进制数：B8，计算过程如下：

B => 11 = 8 + 2 + 1 = 1011

8 => 8 = 1000

所以二进制结果是：(10111000)~2~。

二进制与八进制互相转换

对于整数，将二进制按3位1组从右往左划分，对于小数，将二进制按3位1组从左往右划分，每3位二进制对应八进制1位，反之亦然，每1位十六进制对应4位二进制。

二进制	1	1	1
对应的值	4	2	1

如有二进制数：11011101.1011101，计算过程如下：

整数部分：

011 => 3

011 => 3

101 => 5

小数部分：

101 => 5

110 => 6

100 => 4

所以八进制结果是：(335.564)~8~。

八进制与十六进制互相转换

为了使用上述两种方便的方式，这个过程相对要多出一步，先将其转换为二进制再进行目标进制的转换。

假设有八进制数：673.26，要转换为十六进制，计算过程如下：

整数部分：

6 => 4+2 = 110

7 => 4+2+1 = 111

3 => 2+1 = 011

小数部分：

2 => 2 = 010

6 => 4+2 = 110

得出二进制中间结果：(110111011.010110)~2~。

接下来转为十六进制：

整数部分划分为：1 1011 1011

0001 => 1

1011 => 8+2+1 = 11 = B

1011 => 8+2+1 = 11 = B

小数部分划分为：0101 10

0101 => 4+1 = 5

1000 => 8

得到十六进制结果为：(1BB.58)~16~。

这个过程反过来也是类似的，不再赘述。

一句题外话：对于三十二进制可以将二进制按5位为1组划分，同样适用于该法则计算。

其他进制的互相转换

只要先将数值转换为十进制，然后按照上述方式转换为目标进制即可。计算比较麻烦，但是用频率较低。