最优化方法：八、多目标优化

主要参考书目：

• 最优化方法及其应用/郭科，陈聆，魏友华.-北京：高等教育出版社,2007.7(2013.7重印)

1、基本原理

• 基本模型
  
• 解的概念
  由于优化目标是向量函数，无法直接比较大小，故引入序的概念：
  
  有了序的概念，接下来给出“最优”的概念：
  　
  绝对最优：
  　　若对于X∗∈D$X^{\ast }\in D$，如果对∀X∈D$\mathrm{\forall }X\in D$，都有F(X∗)≤F(X)$F(X^{\ast })\le F(X)$，则称X∗$X^{\ast }$为该多目标优化问题的绝对最优解。
  　
  Paerto最优：
  　　若对于X∗∈D$X^{\ast }\in D$，如果不存在X∈D$X\in D$，使得F(X)≤F(X∗)$F(X)\le F(X^{\ast })$，则称X∗$X^{\ast }$为该多目标优化问题的Paerto最优解，亦称有效解。
  　　将Paerto最优解定义中的F(X)≤F(X∗)$F(X)\le F(X^{\ast })$改为F(X)<F(X∗)$F(X)<F(X^{\ast })$，则变为弱Paerto最优解，亦称弱有效解的定义。
  　　可以看到（弱）Paerto最优是指解在“≤(<)$\le (<)$”意义下不可改进。
• 解的性质
  
  1. 绝对最优必有效。
  2. 有效必若有效。
  3. 各分量函数的最优解集的交是绝对最优解集。
  4. 各分量函数的最优解集包含于弱有效解集，且当绝对最优解集非空时，弱有效解集为各分量函数的最优解集的并。
     斜体部分证明：
     

2、评价函数法

• 基本原理
  构造h:Rn⇒R1$h:R^n\Rightarrow R^1$，化多目标优化为单目标优化h(F(X))$h(F(X))$。
• 常用方法
  (1)理想点法
  　　先分别对目标函数的每一个分量进行优化，求得其最优值f∗i$f_i^{\ast }$，并以此构造理想点F∗$F^{\ast }$，最后再以F$F$和F∗$F^{\ast }$的距离（或者其他何以反映广义“距离”的量），即d(F(X),F∗)$d(F(X),F^{\ast })$为目标函数。也就是
  
  h(F(X))=d(F(X),F∗).$$h(F(X))=d(F(X),F^{\ast }).$$
  
  　　距离的定义可以为
  　　
  　　d1(F(X),F∗)={∑mi=1wi[fi(X)−f∗i]p}1p,　　d2(F(X),F∗)=max1≤i≤m(wi|fi(X)−f∗i|)),　　d3(F(X),F∗)={∑mi=1wi[fi(X)−f∗if∗i]p}1p.　　$$\begin{array}{l} d_1(F(X),F^{\ast })=\{\sum _{i=1}^m{w}_i[f_i(X)-f_i^{\ast }{]}^p{\}}^{\frac{1}{p}},\\ d_2(F(X),F^{\ast })=ma{x}_{1\le i\le m}(w_i|f_i(X)-f_i^{\ast }|)),\\ d_3(F(X),F^{\ast })=\{\sum _{i=1}^m{w}_i[{\displaystyle \frac{f_i(X)-f_i^{\ast }}{f_i^{\ast }}}{]}^p{\}}^{\frac{1}{p}}. \end{array}$$
  
  　　一般要求（其他方法的权值若无特殊说明，同样需要满足此条件。）：
  　　
  ∑i=1mwi=1,wi≥0.$$\sum _{i=1}^m{w}_i=1,w_i\ge 0.$$
  
  (2)极小极大法
  
  该方法有一个要求，即几个目标函数的取值范围应大致相同，否则整个寻优过程会被天然就很大的那个函数所主导。对于目标函数取值范围不大相同的情况，往往可以通过除以一个代表函数取值范围大小的特征量，使取值范围都在0-1附近。（特征量的选取往往也需要考虑无量纲化的要求。）
  (3)乘除法
  该方法要求各目标函数均为正，不为正的话，可以通过处理变得全为正，比如：
  
  f′i=efi.$$f_i^{{}^{\prime }}=e^{f_i}.$$
  
  假设前s$s$个目标函数越小越好，后m−s$m-s$个目标函数越大越好，此时评价函数可以取为：
  
  h(F(X))=∏i=1s(fi(X))wi∏i=s+1m(fi(X))wi.$$h(F(X))={\displaystyle \frac{\prod _{i=1}^s(f_i(X){)}^{w_i}}{\prod _{i=s+1}^m(f_i(X){)}^{w_i}}}.$$
  
  求解该函数的最小值即可。
  (4)线性加权法
  构造目标函数：
  
  h(F(X))=∑i=1mwifi(x).$$h(F(X))=\sum _{i=1}^m{w}_i{f}_i(x).$$
  
  注意，使用该方法时应把各目标函数都化成统一求极大或者极小，最简单的方法是通过添加负号实现。该方法还应注意各目标函数的取值范围应该大致相同，必要时可做标准化处理。处理方法在极大极小法中提到过一些，
• 关于各方法求得的解的特点
  
• 判断权重的基本方法
  有专家评级法，层次分析法，熵权法等。

3、分层求解法

即把目标函数分层不同层次，先优化第一层次，再把优化结果当做第二层的条件进行第二层优化，以此类推。

4、目标规划法

决策者预先给定一个目标值：[f01,f02,⋯,f0m]T.$[f_1^0,f_2^0,\cdots ,f_m^0{]}^T.$，在优化过程中考虑实际值与目标值的偏差：

∑i=1mwi|fi−f0i|$$\sum _{i=1}^m{w}_i|f_i-f_i^0|$$

把问题转化为使该函数最小的单目标优化。