【信号与系统学习笔记】—— 离散傅里叶变换的扩展：z 变换分析1

时间：2024-03-31 11:54:46

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一、z变换的引入

首先，我们来看看DTFT的公式：X(ejω)=∑n=−∞+∞x[n]e−jωn x[n]=12π∫2πX(ejω)ejωndω X(e^{jω}) = \sum_{n = -∞}^{+∞}x[n]e^{-jωn}\\ \space\\ x[n] = \frac{1}{2π}\int_{2π}X(e^{jω})e^{jωn}dω
那么我们对于第一个式子，如果令 z=ejωz = e^{jω}，那么就有：X(z)=∑n=−∞+∞x[n]z−n X(z) = \sum_{n = -∞}^{+∞}x[n]z^{-n}
这是当 ∣z∣=1|z| = 1 时的 z 变换公式。那么，如果更一般的讲，我们令：z=rejωz = re^{jω}，那么就有：X(z)=∑n=−∞+∞x[n]z−n=∑n=−∞+∞x[n]r−ne−jωn=F(x[n]r−n) \begin{aligned} X(z) &= \sum_{n = -∞}^{+∞}x[n]z^{-n}\\ &=\sum_{n = -∞}^{+∞}x[n]r^{-n}e^{-jωn}\\ &=\mathscr{F}(x[n]r^{-n}) \end{aligned}
也就是说，z 变换可以看作是 x[n]r−nx[n]r^{-n} 的傅里叶变换。其中，当 r=1r = 1 时，就变成了傅里叶变换。

值得注意的是，我们看 z=rejωz = re^{jω} 的表达式，其实是极坐标形式，rr 就可以表示半径。那么在 zz 变换里面非常关键的就是单位圆，他的作用与 拉氏变换里面的虚轴一样。

二、一些常用的 z 变换对

首先我们来看看 x[n]=anu[n]x[n] = a^nu[n]

他的DTFT我们很熟悉：当 |a| < 1时，x[n]=anu[n]x[n] = a^nu[n] 的DTFT为：11−ae−jω\frac{1}{1 - ae^{-jω}}
下面我们来看看它的z变换：X(z)=∑n=−∞+∞anu[n]z−n=∑n=0+∞anz−n=∑n=0+∞(az−1)n \begin{aligned} X(z) &= \sum_{n=-∞}^{+∞}a^nu[n]z^{-n}\\ &=\sum_{n=0}^{+∞}a^nz^{-n}\\ &=\sum_{n=0}^{+∞}(az^-1)^n \end{aligned}
我们发现，这就是一个等比数列求和问题了。为了使得数列的和有限存在，我们应该令公比 (az−1)<1(az^{-1})<1，那么数列的和即为：X(z)=11−az−1=zz−a X(z) = \frac{1}{1 - az^{-1}} = \frac{z}{z - a}
其ROC为：∣az−1∣<1|az^{-1}| < 1，即：∣z∣>∣a∣|z| > |a|，所以我们知道 ROC 的形状是一个半径大于 ∣a∣|a| 的区域。那么这里又分为两种情况：1. 0<∣a∣<10 < |a| < 1 2. ∣a∣>1|a| > 1。我们看看0<∣a∣<10 < |a| < 1的图：
【信号与系统学习笔记】—— 离散傅里叶变换的扩展：z 变换分析1可想而知，当 ∣a∣>1|a| >1 时，其傅里叶变换就不存在了（因为 ROC不包括单位圆）

下面我们来看看 x[n]=−anu[−n−1]x[n] = -a^nu[-n-1]

X(z)=∑n=−∞+∞−anu[−n−1]z−n=−∑n=−∞−1anz−n=−∑n=1+∞a−nzn=1−∑n=0+∞(a−1z)n \begin{aligned} X(z) &= \sum_{n=-∞}^{+∞}-a^nu[-n-1]z^{-n}\\ &=-\sum_{n=-∞}^{-1}a^nz^{-n}\\ &=-\sum_{n=1}^{+∞}a^{-n}z^{n}\\ &=1 - \sum_{n=0}^{+∞}(a^{-1}z)^n \end{aligned}
同样地就变成了等比数列求和，要使得和有限，就应有：∣a−1z∣<1|a^{-1}z| < 1，即：∣z∣<∣a∣|z| < |a|，那么结果为：X(z)=1−11−a−1z=zz−a X(z) = 1 - \frac{1}{1 - a^{-1}z} = \frac{z}{z - a}
但是，虽然 z 变换的表达式和上面那个情况一样，但是 ROC却大有不同：
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总结一些，大家需要记忆的两类信号：

  1. x[n]=anu[n]x[n] = a^nu[n]（右边信号）
  2. x[n]=−anu[−n−1]x[n] = -a^nu[-n-1]（左边信号）

三、z 变换 ROC 的性质

既然有了拉氏变换关于 ROC 性质的印象，那么这里我们也就直接引入 z 变换 ROC 的性质：$$

  1. 对于左边信号而言，ROC 位于最外层极点的外面
  2. 对于右边信号而言，ROC 位于最内层极点的里面
  3. 对于双边信号而言，ROC 是一个以原点为中心的圆环
  4. z 变换的 ROC 不会包括任何一个极点
  5. 若 x[n]x[n] 是有限长度的，那么，ROC可能是整个平面（但是有可能除去 z = 0 和/或 z = ∞)

三、z 变换的性质

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