【信号与系统学习笔记】【课程终章】—— 离散傅里叶变换的扩展：z 变换分析2

上文中，我们学习了《信号与系统》的第十章——z变换。这是我们学院教学大纲所要求的最后一章内容。因此，这将是本系列专栏的最后一篇课程笔记啦！但是文章却不止于此，平时关于信号与系统的一些思考我也会继续发上这个专栏的噢！那么下面我们先回顾一下关于z变换，我们之前都说了啥：

1. 常见的z变换对

【1】必须要记得的两个z变换对：$a^nu[n]$anu[n] 的z 变换为：$\frac{1}{1 - az^{-1}}$1−az−11​，ROC为：$|z| > |a|$∣z∣>∣a∣
【2】$-a^nu[-n-1]$−anu[−n−1] （左边信号），它的z变换为：$\frac{1}{1 - az^{-1}}$1−az−11​，ROC为：$|z| < |a|$∣z∣<∣a∣

2. ROC 的性质

另外，我们还学习了左边、右边、双边信号和他们的ROC所应该具有的特征；

3. z变换的性质

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那么，本次博客我们将会探讨以下几点：1. z变换的ROC和系统性质之间的关系 2. 系统的框图描述 3. 单边z变换

一、z变换与系统的联系

1.1 z变换的ROC与系统因果性的关系

大家记忆：如果说一个系统，它的系统函数的z变换的ROC位于最外层极点的外面，同时ROC还包含了无穷远点时，那么这个系统就是因果的。 这里的"ROC还包含了无穷远点"，它的意思就是：$∞$∞ 不能是 H(z) 的极点。那么什么时候$∞$∞ 不是 H(z) 的极点呢？—— 如果 H(z) 表示成了多项式之比的形式，且分母项的阶次大于等于分子项的阶次时，$∞$∞ 不是 H(z) 的极点，相反，此时$∞$∞ 是 H(z) 的零点。

1.2 z变换的ROC与系统稳定性之间的关系

我们知道，一个系统要想是稳定的，在时域上需要满足下面这个条件：$\sum_{n=-∞}^{+∞}h[n] < ∞$n=−∞∑+∞​h[n]<∞

这不仅仅说明了系统函数绝对可和，他也说明了系统函数的傅里叶变换一定存在。 那么，到了z域，也是类似的，如果系统函数的z变换的ROC包含了单位圆，我们就可以判断这个系统是稳定的。

1.3 系统结构与H(z)的关系

同样地，我们目前所了解的系统基本结构包括——级联、并联和反馈。我们下面分别来看看：

在时域中，系统级联我们用卷积来描述：$h_1[n]*h_2[n]$h1​[n]∗h2​[n]
在频域中，系统级联我们用乘积来描述：$H_1(e^{jω})H_2(e^{jω})$H1​(ejω)H2​(ejω)
那么在复数域里面，我们同样也是用乘积来描述：$H_1(z)H_2(z)$H1​(z)H2​(z)

在时域中，系统级联我们用相加来描述：$h_1[n]+h_2[n]$h1​[n]+h2​[n]
在频域中，系统级联我们也用相加来描述：$H_1(e^{jω})+H_2(e^{jω})$H1​(ejω)+H2​(ejω)
那么在复数域里面，我们同样也是用相加来描述：$H_1(z)+H_2(z)$H1​(z)+H2​(z)

对于反馈系统，我们直接构造 $\frac{Y(z)}{X(z)}$X(z)Y(z)​ ，消除中间变量即可。我们来试试：
首先，反馈的输出我们知道是：$Y(z)G(z)$Y(z)G(z)，那么就有：$X(z) - Y(z)G(z) = X_1(z)$X(z)−Y(z)G(z)=X1​(z)，有因为：
$X_1(z)H_1(z) = Y(z)$X1​(z)H1​(z)=Y(z)，联立上面两个式子，将中间量 $X_1(z)$X1​(z) 消掉即可。

二、系统的框图描述

我们知道，对于离散时间系统而言，常常用差分方程来描述。因此我们约定：在框图里面就只能用：加法器、乘以系数和$z^{-1}$z−1（等价于延时一个单位时间）

另外框图也分为直接型框图、级联型框图和并联型框图。我们在考试时要按照题目要求画出对应的图。我们下面介绍一下；

分别画出下面这个系统函数

的直接型框图、级联型框图和并联型框图

对于初学者而言，也许需要先把差分方程给写出来：$y[n] = \frac{1}{4}y[n-1] - \frac{1}{8}y[n-2] = x[n]$y[n]=41​y[n−1]−81​y[n−2]=x[n]
即：$y[n] = x[n] - \frac{1}{4}y[n-1] + \frac{1}{8}y[n-2]$y[n]=x[n]−41​y[n−1]+81​y[n−2]
因此，我们就可以画出直接型：

下面给大家支一招：直接型的通法：

如果题目给出的多项式比，少了哪一项，我们就可以把哪一项的线给它抹去。

下面是级联型的画法：

如果要改成并联型，则需要做部分分式展开，框图如下：

三、单边z变换

单边z变换，顾名思义就是求和区间是$[0, +∞]$[0,+∞]。如果信号只是在 $[0, +∞]$[0,+∞] 有值，那么双边z变换和单边 z 变换的结果是一样的。如果信号在 $n < 0$n<0 时还有值，那么两者的结果就不一样了。

另外值得注意的一点是单边z变换的时移特性：
【1】若 $x[n]$x[n]的单边z变换为：$X(z)$X(z)，那么$x[n-1]$x[n−1] 的单边z变换为：$z^{-1}X(z) + x(-1)$z−1X(z)+x(−1)、
【2】若 $x[n]$x[n]的单边z变换为：$X(z)$X(z)，那么$x[n+1]$x[n+1] 的单边z变换为：$z^{1}X(z) + zx(0)$z1X(z)+zx(0)

根据单边z变换的这个性质，我们系统的输出往往就可以分为——零输入响应和零状态响应了。

终于归纳完啦！这一个学期由于疫情的影响变得非常特殊。天天坐在家里，对着博客的页面打字也是一件需要耐得住寂寞的事情哈哈。非常庆幸自己坚持了下来，没有在做前几次笔记之后就打退堂鼓。就因为这样才有了这一片博客的尾声。在此也对阅读我专栏的同学们说一声——加油！！未来可期！