对于图像求一阶导数和二阶导数可以增强图片或者求图像的边缘。
一阶导数：
我们知道在数学中一阶导数的求法为:
在图形学中由于图片是按像素来离散组成的，所以最小的h取值为1，所以计算后：
所以图像的一阶导数就是图像亮度的变化率，对于一个灰度图像，他的一阶导数计算如下：
灰度图像矩阵：
a b c
d e f
g h i
那么对于中心像素e：
dx＝f-e（或者f-d）
dy＝h-e（或者h-i）
当然如果用sobel算子的话
dx＝（c+2f+i）-（a+2d+g）
dy＝（g+2h+i）-（a+2b+c）
所以在图像边缘检测中，sobel算子的卷积因子为：
可以看出这个卷积因子其实就是sobel算子求图像一阶导数。
二阶导数：
所以当h=1时：
这时可以化简：
这一步在数学中推导为（数学差的我看了一上午才看懂）：
令x=x-1
则：
在x和y方向上，有：
把x方向和y方向的二阶导数结合在一起：
这实质上就是著名的拉普拉斯二阶微分算子（Laplacian），拉普拉斯二阶导数还有其它的形式，例如：
所以 Laplacian算子的卷积因子有以下两种：
