一阶线性偏微分方程通解法和特征线法(一)| 两个自变量情况 | 偏微分方程(七)

时间:2024-03-28 12:25:06

先求通解再确定特解,是求常微分方程定解问题采用的方法,都某些偏微分方程,也能通过积分求出通解,进而确定出满足定解条件的特解。

两个自变量的一阶线性偏微分方程

今有两个自变量的一阶线性偏微分方程。
a(x,y)ux+b(x,y)uy+c(x,y)u=f(x,y)(1) a(x,y)\frac{\partial u}{\partial x}+b(x,y)\frac{\partial u}{\partial y}+c(x,y)u=f(x,y) \tag{1}
其中,系数a(x,y),b(x,y),c(x,y)a(x,y),b(x,y),c(x,y)是平面区域DR2D\subset \bold R^2上的连续函数,且a(x,y),b(x,y)a(x,y),b(x,y)不同时为零,f(x,y)f(x,y)在D上连续,称为方程的非齐次项。若f(x,y)0f(x,y)\equiv 0,方程为齐次的。

思路:将两个自变量的方程化为求一个自变量的方程

情况1:如果在D上,a(x,y)0,b(x,y)0a(x,y)\equiv 0,b(x,y)\neq 0,方程(1)改写为
ux+c(x,y)b(x,y)u=f(x,y)b(x,y)(2) \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{c(x,y)}{b(x,y)}u=\frac{f(x,y)}{b(x,y)} \tag{2}
利用一阶线性常微分方程的求解方法得其通解。
u(x,y)=exp(c(x,y)b(x,y)dy)[exp(c(x,y)b(x,y))f(x,y)b(x,y)dy+g(x)] u(x,y)=exp(-\int \frac{c(x,y)}{b(x,y)}dy)·[\int exp(\int \frac{c(x,y)}{b(x,y)})\frac{f(x,y)}{b(x,y)}dy+g(x)]
其中,g(x)g(x)为任意C函数。

情况2:如果在D上,a(x,y)b(x,y)0a(x,y)b(x,y)\neq 0,方程(1)不能直接积分求解,试作待定的自变量代换
{ξ=φ(x,y)η=ψ(x,y)(a) \begin{cases} \xi=\varphi(x,y) \\ \eta=\psi(x,y) \end{cases} \tag{a}
要求其雅可比(Jacobi)行列式
J(φ,ψ)=(φ,ψ)(x,y)=φxφyψxψy0 J(\varphi,\psi)=\frac{\partial (\varphi,\psi)}{\partial(x,y)}= \begin{vmatrix} \frac{\partial \varphi}{\partial x} & \frac{\partial \varphi}{\partial y} \\ \frac{\partial \psi}{\partial x} & \frac{\partial \psi}{\partial y} \end{vmatrix} \neq 0
以保证新变量ξ,η\xi,\eta的相互独立性,利用链式法则
ux=uξξx+uηηx=φxuξ+ψxuηuy=uξξy+uηηy=φyuξ+ψyuη \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial \xi}\frac{\partial \xi}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial \eta}\frac{\partial \eta}{\partial x}=\frac{\partial \varphi}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial \xi}+\frac{\partial \psi}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial \eta} \\ \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial \xi}\frac{\partial \xi}{\partial y}+\frac{\partial u}{\partial \eta}\frac{\partial \eta}{\partial y}=\frac{\partial \varphi}{\partial y}\frac{\partial u}{\partial \xi}+\frac{\partial \psi}{\partial y}\frac{\partial u}{\partial \eta}
u=u(x,y)u=u(x,y)的方程(1)变为u=u(x(ξ,η),y(ξ,η))=u(ξ,η)u=u(x(\xi,\eta),y(\xi,\eta))=u(\xi,\eta)的新方程
(aφx+bφy)uξ+(aψx+bψy)uη+cu=f(3) (a\frac{\partial \varphi}{\partial x}+b\frac{\partial \varphi}{\partial y})\frac{\partial u}{\partial \xi}+(a\frac{\partial \psi}{\partial x}+b\frac{\partial \psi}{\partial y})\frac{\partial u}{\partial \eta}+cu=f \tag{3}
若取ξ=φ(x,y)\xi=\varphi(x,y)是齐次一阶线性偏微分方程
a(x,y)φx+b(x,y)φy=0(4) a(x,y)\frac{\partial \varphi}{\partial x}+b(x,y)\frac{\partial \varphi}{\partial y}=0 \tag{4}
的解,则新方程(3)称为(2)型的方程
(aψx+bψy)uη+cu=f(b) (a\frac{\partial \psi}{\partial x}+b\frac{\partial \psi}{\partial y})\frac{\partial u}{\partial \eta}+cu=f \tag{b}
η\eta积分便可求出通解。

以下求解一阶线性偏微分方程(4),它的解对应与相应的常微分方程
a(x,y)dyb(x,y)dx=0(5) a(x,y)dy-b(x,y)dx=0 \tag{5}
亦即
dxa(x,y)=dyb(x,y)(6) \frac{dx}{a(x,y)}=\frac{dy}{b(x,y)} \tag{6}
的解之间存在确定的关系。

定理:若φ(x,y)=h\varphi(x,y)=h(常数)是一阶常微分方程(5)在区域D内的隐式通解(积分曲线族),则ξ=φ(x,t)\xi=\varphi(x,t)是一阶线性偏微分方程(4)在区域D上的一个解。

证明:设φ(x,y)=h\varphi(x,y)=h是方程(5)在D内的隐式通解,则过D内一点(x0,y0)(x_0,y_0)有一条积分曲线Γ0:φ(x,y)=φ(x0,y0)=h0\Gamma_0:\varphi(x,y)=\varphi(x_0,y_0)=h_0,此隐式解满足方程
dxa(x,y)=dyb(x,y) \frac{dx}{a(x,y)}=\frac{dy}{b(x,y)}
又沿此积分曲线Γ0\Gamma_0,有
φxdx+φydy=0 \frac{\partial \varphi}{\partial x}dx+\frac{\partial \varphi}{\partial y}dy=0
故在Γ0\Gamma_0上,有
a(x,y)φx+b(x,y)φy=0 a(x,y)\frac{\partial \varphi}{\partial x}+b(x,y)\frac{\partial \varphi}{\partial y}=0
由于(x0,y0)(x_0,y_0)是D内任意一点,故ξ=φ(x,y)\xi=\varphi(x,y)是一阶线性偏微分方程(4)在D上的解。

定题的逆命题也成立。

由常微分方程理论,一阶常微分方程(5)在区域D内存在且仅存在一族独立的积分曲线。如果求出了方程(5)的积分曲线族φ(x,y)=h\varphi(x,y)=h,再任取函数ψ(x,y)\psi(x,y),使在D上J(φ,ψ)0J(\varphi,\psi)\neq 0,以此φ\varphiψ\psi作变量代换(a)式,一阶线性偏微分(1)便可化为可积分求通解的方程(b)。

特别地,当c(x,y)=f(x,y)0c(x,y)=f(x,y)\equiv 0时,方程(1)即为方程(4),相应的新方程(b)为uη=0\frac{\partial u}{\partial \eta}=0,其通解为u=g(ξ),g(ξ)u=g(\xi),g(\xi)为任意C函数。代回原自变量,得方程
a(x,y)ux+b(x,y)uy=0 a(x,y)\frac{\partial u}{\partial x}+b(x,y)\frac{\partial u}{\partial y}=0
的通解u=g(φ(x,y))u=g(\varphi(x,y))。这里,φ(x,y)=h\varphi(x,y)=h是常微分方程(5)的隐式通解,g(ξ)g(\xi)是任意C函数。

如果给定u在某一曲线Γ:γ(x,y)=d\Gamma:\gamma(x,y)=d上的值,则需求解定解问题
{a(x,y)ux+b(x,y)uy=0uγ(x,y)=d=θ(y) \begin{cases} a(x,y)\frac{\partial u}{\partial x}+b(x,y)\frac{\partial u}{\partial y}=0 \\ u|_{\gamma(x,y)=d}=\theta(y) \end{cases}
用定解条件定出通解中的任意函数g(ξ)g(\xi)即可。

这种求解定解问题的方法称之为通解法。常微分方程(5)或等价的方程(6)称为一阶线性偏微分方程(1)的特征方程,其积分曲线称之为特征曲线

例1:求解右行单波方程的初值问题
{ut+aux=0,t>0,<x<+ut=0=φ(x) \begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t}+a \frac{\partial u}{\partial x}=0,\quad t>0,-\infty<x<+\infty \\ u|_{t=0}=\varphi(x) \end{cases}
其中,a>0a>0为常数。

:特征方程dxadt=0dx-adt=0特征线族xat=hx-at=h

ξ=xat,η=x\xi=x-at, \eta=x,则方程化为
uη=0 \frac{\partial u}{\partial \eta}=0
η\eta积分得通解u=g(ξ)=g(xat)u=g(\xi)=g(x-at),其中,g(ξ)g(\xi)是任意C函数。由初始条件
ut=0=g(x)=φ(x) u|_{t=0}=g(x)=\varphi(x)
得该初值问题的解u(t,x)=φ(xat)u(t,x)=\varphi(x-at)

(x,u)(x,u)平面上看(图1.3.1),t=0t=0u=φ(x)u=\varphi(x),对每个固定时刻t>0u=φ(xat)]t>0,u=\varphi(x-at)],其图形相当于曲线u=φ(x)u=\varphi(x)向右移动了atat,波形的传播速度为aa。称这样的解为右行波解

(x,t,u)(x,t,u)空间看(图1.3.2),波形沿特征线传播。在特征线xat=hx-at=h上,u=φ(xat)=φ(h)u=\varphi(x-at)=\varphi(h),故当观察者沿某条特征线前行时,看到的波形始终不变。如果初始扰动φ(x)\varphi(x)只发生在区间h1xh2h_1\leq x\leq h_2内,则这个扰动沿着(x,t)(x,t)平面上的特征条形域h1xath2h_1\leq x-at\leq h_2传播。

一阶线性偏微分方程通解法和特征线法(一)| 两个自变量情况 | 偏微分方程(七)

本例中初始条件给在非特征线的直线t=0t=0上,从通解可唯一确定特解。如果初始条件给在一条特征线xat=h0x-at=h_0上,初始条件uxat=h0=g(xat)xat=h0=g(h0)=φ(x)u|_{x-at=h_0}=g(x-at)|_{x-at=h_0}=g(h_0)=\varphi(x),当φ(x)\varphi(x)为非常值函数时无解,当φ(x)\varphi(x)为常数φ0\varphi_0时有无穷多个解g(ξ)g(\xi),只要g(h0)=φ0g(h_0)=\varphi_0

对于左行单波方程utaux=0\frac{\partial u}{\partial t}-a\frac{\partial u}{\partial x}=0,同样可求得其通解为左行波u=g(x+at)u=g(x+at)gg为任意C1C^1函数(一阶连续导数)。