一.RLC说明
RLC电路常见的有RLC串联和RLC并联电路，其原理是相通的，本次公式推导和电路说明以RLC串联电路进行说明。
二.RLC公式推导
RLC电路其实就是一个二阶电路，如下图为一个串联RLC电路：
其可用下述线性二阶常微分方程描述：
RLC串联电路的零输入响应和零状态响应都与微分方程的系数即元件参数有关。
阻尼系数说明：
例如对于二阶系统，其特征方程标准形式为：
为阻尼系数，ωn为无阻尼振荡频率。
的大小反映了阻尼的大小。
>1为过阻尼，系统特征根为两个负实根，不发生振荡；
=1，为临界阻尼；
<1为欠阻尼。
阻尼系数：
谐振角频率：
方程式可以写为：
，
=
1）当>1 时，S1，S2均为不同的实根，u(t) 响应是非振荡性，称为过阻尼响应。
2）当=1 时，S1，S2为两个相等的负实根，称为临界状态。
3）当 <1时，S1，S2为一对共轭复数根，称为欠阻尼状态。
三.零输入状态和零状态响应
零输入响应
零输入响应的RLC电路如图1所示，初始条件为电容电压UC等于U0，电感电流I等于0，然后开关从左往右拨，根据电路参数的不同，零输入响应有四种情况：
图1 零输入响应RLC电路
（1）过阻尼， >1 ，电路中的电流在放电过程中永不改变方向，电容在全部时间内一直在非振荡放电，对应波形示意如图2所示；
图2 过阻尼零输入响应波形
（2）临界阻尼， =1 ，电容非振荡放电，波形与过阻尼类似，如图2所示；
（3）欠阻尼， <1 ，电容电压在零值附近做衰减振荡放电，电流也在零值附近做衰减振荡，对应波形示意如图3所示。
图3 欠阻尼零输入响应波形
（4）无阻尼，R=0，电容电压按正弦规律做等幅振荡，振荡角频率为
，对应波形示意如图4所示，现实情况中阻尼R不可能为0，所以不存在这种现象。
图4 无阻尼零输入响应波形
1.2 零状态响应
零状态响应的RLC电路如图5所示，初始条件为电容电压UC和电感电流I均等于0，然后输入激励。与零输入响应类似，零状态响应也有四种情况：
图5 零状态响应RLC电路
（1）过阻尼， >1，电路中的电流在充电过程中永不改变方向，电容在全部时间内一直在非振荡充电，对应波形示意如图6所示；
图6 过阻尼零状态响应波形
（2）临界阻尼， =1，电容非振荡充电，波形与过阻尼类似如图6所示；
（3）欠阻尼， <1，电容电压在电源电压值U0附近做衰减振荡充电，但是不会超过电源电压的2倍，电流在零值附近做衰减振荡，对应波形如图7所示。
图7 欠阻尼零状态响应波形
（4）无阻尼，R=0，电容电压围绕着电源电压值U0按正弦规律在0~2倍的电源电压大小之间做等幅振荡，电流围绕零值附近做等幅的正弦振荡，振荡角频率为 ，对应波形示意如图8所示，现实情况中阻尼不可能为0，不存在这种现象。
图8 无阻尼零状态响应波形
三.RLC振荡通俗解释
我们知道电容电压是连续不能突变的，电容公式I=Cdu/dt，变换可得du=Idt/C，根据数学中的导数知识可得，连续函数在极值点的导数等于0，因此电容电压值最大时，即电压导数du=0时，Idt/C=0，可得电容电流I=0；同理，电感电流是连续不能突变的，电感公式U=Ldi/dt，电感电流最大的时候，电感电压UL=0。
2.1 零输入响应
从无阻尼零输入响应的波形图9开始分析，初始条件电容电压为U0，电感电流为0，由于电阻R=0，由图1电路，根据基尔霍夫电压定律可知，无论何时，电感电压UL=电容电压UC。在0时刻，由于电容电压为U0，两侧极板的电荷不平衡，极性为上正下负，所以电容开始放电，电路中的电流开始增加，流向为顺时针方向，如图10所示。直到t1时，电容放电完毕，电压UC=0，因此电感电压UL=0。根据上述电感特性，此时电路电流I最大，电容两侧极板电荷处于平衡状态。t1时刻虽然电容处于电荷平衡状态，但是由于电感电流不能突变，不能瞬间从最大值变为0，只能慢慢降低，这就导致电容的电荷平衡状态被打破，电容重新被充电，极性与t0时刻相反，为上负下正，直至t2时电感电流I=0，根据上述电容特性，此刻电容电压达到最大值。t2时刻虽然电感电流I=0，但是此时电容两侧极板的电荷又处于不平衡状态了，电容又要开始放电，只是方向与0~t1时间段内相反，为逆时针方向，后续分析与前述思路相同，不再赘述，整个过程种电容电压和电流相位正好相差90°。
图9 无阻尼零输入响应波形分析
图10 零输入响应电流方向
当电路中的阻尼电阻R≠0时，波形如图11所示，由于电阻R存在压降UR，电感电压UL就不等于电容电压UC了，而是如下关系：UC=UL+UR。在0时刻，电容放电，电容电压UC下降，电流I增加，电阻电压UR增加，直到t1时刻，电容电压UC和电阻电压UR相等，即UC=UR=IR时，此时电感电压UL就等于0，电流I达到最大值，I=UC/R，其小于无阻尼状态下的电流最大值。t1时刻电容尚未放电完毕，因此在t1~t2时间段内，电容继续放电直到t2时刻放电结束。而电感电流在t1时刻达到最大值后开始下降，但电流方向不变，到t2时，电容电压放电完毕，电感电流开始给电容充电，电容极性变为上负下正，直到t3时刻，电感电流I=0，电容电压UC达到最大值。从分析中可知，由于电阻R的存在，电感电流在电容尚未放电完毕时就已经达到最大值，电阻R越大，电流最大值I=Uc/R就越小，电流达到最大值的时刻也越早，当 
时，电流与电容电压分别都在同一时刻达到0不再振荡，形成非振荡放电。
图11 欠阻尼零输入响应波形分析
2.2 零状态响应
零状态响应同样从无阻尼的波形图12开始分析，初始条件电容电压UC和电感电流I均为0，激励电压为U0，由于电阻R=0，由基尔霍夫电压定律得，无论何时，U0=UC+UL。在0时刻，电容开始充电，电容UC和电流I开始增加，直到t1时刻，电容电压UC上升到U0，此时电感电压UL=0，电感电流I达到最大值。t1时刻后，电流I开始下降，但方向不变，电容继续充电，直到t2时刻，电流下降到0，电容电压UC达到最大值2U0。t2时刻后，电容开始放电，电流方向改变为相反方向，电流开始反向增大，直到t3时刻，电容电压UC下降到U0，此时UL=0，电感电流达到反向最大值。后续分析类似，不再赘述。
图12 无阻尼零状态响应波形分析
当电路中的阻尼电阻R≠0时，由于电阻存在压降，故U0=UR+UC+UL，波形如图13所示。在0时刻，电容开始充电，电容电压UC和电流I开始增加，直到t1时刻，U0=UR+UC，UL=0，电流达到最大值I=（U0-UC）/R，小于无阻尼状态下的电流最大值，此后电感电流开始下降。此时UC<U0，电容电压还未上升到U0，直到t2时刻，电感电流下降到0，电容电压达到最大值，小于无阻尼状态下的电容电压最大值，t2时刻后，电容开始放电，电流方向变为相反，直到t3时刻，U0=UC+UR（由于电流方向相反，此刻UR值为负数），电流达到反方向最大值，此时UC>U0，电容电压还未下降到U0，t3-t4时刻，电流从反向最大值逐渐减小到0，t4时刻，电流为0，电容电压达到最小值，此时UL=Ldi/dt>0,UR=0,U0=UL+UC,U0>UC，由于电感电流不能突变开始对电容充电，但是由于每次充放电在电阻上面损耗了能量，所以电流峰值越来越小，从分析中可知，电阻R越大，根据阻尼系数公式，阻尼会越大，而阻尼有使电路从振荡回到稳定的状态的作用，电流最大值I=（U0-UC）/R就越小，电流达到最大值的时刻也越早，电容电压所能达到的最大值也越小，当 
时，电容电压在电流为0时达到的最大值接近等于U0，由于电容电压和激励源U0没有压差，无法再充放电，最终形成非振荡充电。
图13 欠阻尼零状态响应波形分析
四.总结
前述分析中可知，RLC电路能够振荡的初始条件是电容或电感处于不稳定状态，即电容有充电或者放电的条件，流过电感的电流不为0，最终稳态必然是电容不具备充放电的条件，同时电感电流为0。
五.拓展
阻尼和电阻的区别联系
阻尼是一个十分宽泛的概念，并不局限于电学。在知网百科搜索阻尼的定义可以查出一堆，虽然各定义不同，但简而言之，阻尼反映了对振动的衰减作用。电阻是一个电学概念，同样也可以查出一堆定义，但简而言之，电阻反映了对电流的阻碍作用。
二者概念不同，区别是显而易见的。由于阻尼和振动系统有关，所以电阻和阻尼只有在可能发生振荡的电路中才会有联系，而这种联系无非存在两种情况：1、电阻越大，对振荡的衰减作用越大，即电阻增大而阻尼增大；2、电阻越大，对振荡的衰减作用越小，即电阻增大而阻尼减小。
千万不要以为：由于电阻是消耗能量的，所以增大电阻就一定会增加阻尼。事实上，增加电阻对振荡可能起到削弱作用，也可能有加剧作用，这和电路的具体拓扑有关。
例如，对于RLC串联电路（如下图），当R=0时，相当于纯LC振荡电路，它的零输入响应（在初始状态不为0的情况下）是无阻尼振荡，振荡不会衰减，阻尼为0；而当R为无穷大时，相当于断路，振荡根本不会发生，或者说振荡在瞬间衰减为0，阻尼无穷大。在这种情况下，R越大，阻尼越接近无穷大；R越小，阻尼越接近0。
而对RLC并联电路（如下图），情况恰好相反，当R为无穷大时，电路为纯LC振荡电路，阻尼为0；而R=0时，LC被短路，电压被强制为0，不会发生振荡，阻尼为无穷大。在这种情况下，R越大，阻尼越接近0;R越小，阻尼越接近无穷大。
2、从上面的例子可以看出，电阻大小和阻尼大小的关系必须结合具体的电路才能确定，不能简单用电阻大小表示电路的阻尼大小。
3、至于电路中阻尼的有无和电阻的有无之间的关系，要看你说的“电阻有无”具体是什么概念了。如果你认为不消耗电能的电阻（0或无穷大阻值）是无电阻，而只有电路中有消耗电能的电阻才算有电阻，并且电路中被短路、断路的支路都忽略掉后仍然可以振荡，那么可以说有电阻的振荡电路是有阻尼的，无电阻的振荡电路是无阻尼的。