电感感应电压公式v(t)=L*di(t)/dt的推导
推导一：
衡量电感线圈充磁多少的单位是磁链——Ψ。电流越大，电感线圈被冲磁链就越多，即磁链与电流成正比，即Ψ=L*I。对一个指定电感线圈，L是常量。
因此，用L=Ψ/I表达电感线圈的电磁转换能力，称L为电感量。
电感量的微分表达式为：L=dΨ(t)/di(t)。推导：dΨ(t) = L * di(t) 公式一
根据电磁感应原理，磁链变化产生感应电压，磁链变化越大则感应电压越高，即v(t)=dΨ(t)/dt。公式二
综合上面两公式得到：v(t)=L*di(t)/dt，即电感的感应电压与电流的变化率（对时间的导数）成正比，电流变化越快则感应电压越高。
推导二：
法拉第电磁感应定律E=N*dΦ/dt; 公式一
在电感线圈里总磁通N*Φ=L*i; =》 Φ = L*i/N 公式二
公式二代入公式一，所以得到
E=N*dΦ/dt
= N*d（L*i/N）/dt
= N*L/N*di/dt
= L*di/dt;
推导三：(输入为正弦波的情况)
先是从法拉第电磁感应定律公式 e＝N*ΔΦ / Δt 出发，由于纯电感线圈通过正弦交流电时，电流产生的磁场的磁感应强度B与电流 i 成正比，且线圈所围面积已经确定（不变），所以穿过线圈的磁通量Φ就与B成正比，得变化量之间的关系有 ΔΦ∝ΔB∝Δi ，∝是成比例的符号。
因此，从 e＝N*ΔΦ / Δt 可推导出 e∝Δi / Δt ，即自感电动势与线圈中电流的变化率成正比，比例系数就是L，得 e＝L*（Δi / Δt），在时间 Δt 趋于0的情况下，就可写成 e＝L*( di / dt )。
纯电感正弦交流电路感应电压u =Um*sin(ωt + 90°)的推导：
推导：
电感感应电压公式u = L*di/dt; 将i = Im*sin(2*π*f*t)代入公式中，则：
u = L*di/dt
= L*d｛Im*sin(2*π*f*t)｝/dt 将常量Im提到微分式外面，得：
= L*Im*dsin(2*π*f*t)/dt 求导，sin(2*π*f*t)求导得到，2*π*f*cos(2*π*f*t)。得：
= L*Im*2*π*f*cos(2*π*f*t) 因为容抗XL = ω*L = 2*π*f*L ; 所以Um = XL*Im = L* Im *2*π*f ，代入式中，得：
= Um*cos(2*π*f*t) 根据三角函数公式：cos (a) = sin ( pi/2 + a ) = sin ( 90°+ a )，得：
= Um*sin(ωt + 90°)
所以，电感上电流落后感应电压90°相位，或者说感应电压超前电流90°相位。 直观理解：设想一个电感与电阻串联充磁。从充磁过程看，充磁电流的变化引起磁链的变化，而磁链的变化又产生感应电动势和感应电流。根据楞次定律，感应电流方向与充磁电流相反，延缓了充磁电流的变化，使得充磁电流相位落后于感应电压。
纯电容正弦交流电路电流公式i = Im*sin(ωt+ 90°)的推导：
推导：
电荷数与电势差（电压）成正比，即Q=C*V。对指定电容，C是常量。因此，用C=Q/V表达电容极板贮存电荷的能力，称C为电容量。
电容量的微分表达式为：C = dQ(t)/dv(t)。=》 dQ(t) = C* dv(t) 公式一
因为电流等于单位时间内电荷数的变化量，即i(t) = dQ(t)/d(t)， 公式二
把公式一代入公式二得到：i(t) = dQ(t)/d(t) = C*dv(t)/d(t)， 公式三
即电容电流与其上电压的变化率（对时间的导数）成正比，电压变化越快则电流越大。
i = C*dv/dt 根据公式三
= C*d{ Um*sin(ωt)}/dt 设v = Um*sin(ωt),并代入式中
= C*Um*d sin(ωt)/dt Um提出来
= C*Um*ω* cos(ωt) sin(ωt)求导得到ω* cos(ωt)
= Im* cos(ωt) 因为容抗XC=1/(ω*C)，Im =Um/XC = Um*ω*C,
= Im* sin(ωt+90°) 三角函数公式：cos(ωt) = sin(ωt+90°)