一. 矩阵介绍
1. 矩阵的定义
由m × n个数aij(i=1，2，...，m；j=1，2，...，m)排成的m行n列的数表成为m行列矩阵，简称m × n矩阵，为了表示是一个整体通常写法总是加一个括弧，并使用大写黑体字符表示它，记作：
\[A = \left(\begin{matrix}
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\
\cdot&\cdot&&\cdot\\
\cdot&\cdot&&\cdot\\
\cdot&\cdot&&\cdot\\
a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\\
\end{matrix}\right)
\]
这m × n个数称为矩阵A的元素，简称为元，数ay位于矩阵A的第i行第j列，简称为矩阵A的(i，j)元。而元素是实数的矩阵成为实矩阵，元素是复数的矩阵成为复矩阵
2. 矩阵的分类
-
n阶方阵(n阶矩阵)
行数和列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵，n阶矩阵A记作An
-
行矩阵(行向量)
只有一行的矩阵，称为行矩阵，又称行向量，行矩阵记作：
\[A = (a_1,a_2,\cdots,a_n)
\]
-
列矩阵(列向量)
只有一列的矩阵，称为列矩阵，又称列向量，列矩阵记作:
\[B = \left(\begin{matrix}
b_1\\
b_2\\
\cdot\\
\cdot\\
\cdot\\
b_n
\end{matrix}\right)
\]
-
同型矩阵%
两个矩阵的行数和列数都相等，就称它们是同型矩阵
-
零矩阵
元素全部都为零的矩阵称为零矩阵，记作O,注意不同型的零矩阵是不同的
-
对角矩阵
除主对角线的元素之外其余位置元素都为0的矩阵叫对角矩阵，如：
\[A = \left( \begin{matrix}
1&0&0&0\\
0&2&0&0\\
0&0&3&0\\
0&0&0&4\\
\end{matrix}
\right )
\]
-
数量矩阵
主对角线的元素都相等，其余位置元素都为0的矩阵叫数量矩阵，如：
\[E =
\left(
\begin{matrix}
2&0&0&0\\
0&2&0&0\\
0&0&2&0\\
0&0&0&2\\
\end{matrix}
\right )
\]
-
单位矩阵
主对角线的元素为1，其余位置的元素为0的矩阵叫做单位矩阵,通常单位矩阵使用E来表示，如:
\[E = \begin{pmatrix}
1&0&0&0\\
0&1&0&0\\
0&0&1&0\\
0&0&0&1\\
\end{pmatrix}
\]
数量矩阵和单位矩阵都是对角矩阵的一种特例，因此数量矩阵和单位矩阵也叫对角矩阵。单位矩阵又是数量矩阵的一种特例，所以单位矩阵又可以叫做数量矩阵
-
对称矩阵
设矩阵A为n阶方阵，满足AT=A，即
\[a_{ij}=a_{ji}\ (i,j=1,2,\cdots,n)
\]
那么A成为对称矩阵，简称为对称阵，对称矩阵的特点是它的元素以主对角线为对称轴对应相等
3. 矩阵的应用
1. 示例一：求解多元一次方程组
\[\begin{cases}
a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\
a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\
\cdots\cdots\cdots\\
a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=b_m\\
\end{cases}
\]
可以提取出如下几个矩阵:
\[A = \begin{pmatrix}
x_1\\
x_2\\
\vdots\\
x_n
\end{pmatrix}
B = \begin{pmatrix}
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\\
\end{pmatrix}
\]
\[C = \begin{pmatrix}
b_1\\
b_2\\
\vdots\\
b_n
\end{pmatrix}
D = \begin{pmatrix}
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\\
\end{pmatrix}
\]
其中A称为未知数矩阵，B为系数项矩阵，C为常数项矩阵，D为增广矩阵
2.实例二：航线问题
四个城市间的单向航线如图所示，若1表示冲i市到j市有1条单向航线,0表示从i市到j市没有单项航线。 
航线可以表示为:
\[A = \begin{pmatrix}
0&1&1&1\\
1&0&0&0\\
0&1&0&0\\
\end{pmatrix}
\]
二. 矩阵的运算
1. 矩阵的加法
设有两个m × n矩阵A=（ay）和B=（by）,则矩阵A与B的和记作A+B，规定为：
\[A+B=\begin{pmatrix}
a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots&a_{1n}+b_{1n}\\
a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots&a_{2n}+b_{2n}\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots&a_{mn}+b_{mn}\\
\end{pmatrix}
\]
只有当两个矩阵是同型矩阵的时候，这两个矩阵才能进行加法运算，矩阵还满足下列运算规律（设A,B,C都是 m×n 矩阵）:
(1) A + B = B + A
(2) A + (B + C) = A + B + C
设矩阵**A **= (ay）则 -A = (-ay)
A称为矩阵A的负矩阵，显然有:
\[A + (-A) = 0
\]
因此矩阵的减法为
\[A-B=A+(-B)
\]
2. 矩阵的乘法
2.1 数与矩阵相乘
数λ与矩阵A的乘积记作λA或Aλ,规定为
\[\lambda A=A\lambda=\begin{pmatrix}
\lambda a_{11}&\lambda a_{12}\cdots&\lambda a_{1n}\\
\lambda a_{21}&\lambda a_{22}\cdots&\lambda a_{2n}\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
\lambda a_{m1}&\lambda a_{m2}\cdots&\lambda a_{mn}\\
\end{pmatrix}
\]
数乘矩阵满足下列运算规律(设A,B为m×n矩阵,λ、μ为常数):
(1) (λμ)A = λ(μA)
(2)(λ+μ)A=λA+μB
(3)λ(A+B)=λA+λB
矩阵加法与数乘成为矩阵的线性运算
2.2 矩阵与矩阵相乘
设有两个线性变换
\[\begin{eqnarray}
&&\begin{cases}
y_1 = a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3\\
y_2 = a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3\ \ \ \ \ \ &(1)\\
\end{cases}\\
&&\begin{cases}
x_1 = b_{11}t_1+b_{12}t_2\\
x_2 = b_{21}t_1+b_{22}t_2&&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\\
x_3 = b_{31}t_1+b_{32}t_2\\
\end{cases}
\end{eqnarray}
\]
若想求出从t1，t2到y1，y2的线性变换，可将(2)代入(1)便得到:
\[\begin{cases}
y_1 = (a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+a_{13}b_{31})t_1+(a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+a_{13}b_{32})t_2\\
y_2 = (a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}+a_{23}b_{31})t_1+(a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}+a_{23}b_{32})t_2\\
\end{cases}
\]
上式可看出先作线性变换(1)在做线性变换(2)的结果,因此把上式线性变换结果叫做线性变换(4)与(5)的乘积,即
\[\begin{pmatrix}
a_{11}&a_{12}&a_{13}\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
b_{11}&b_{12}\\
b_{21}&b_{22}\\
b_{31}&b_{32}\\
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+a_{13}b_{31}&a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+a_{13}b_{32}\\
a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}+a_{23}b_{31}&a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}+a_{23}b_{32}\\
\end{pmatrix}
\]
定义:设A=(aij)是一个m×s矩阵,B=(bij)是一个s×n的矩阵，那么矩阵A与矩阵B的乘积是一个m×n矩阵C=(cij),其中
\[\begin{eqnarray}
&c_{ij}=a_{1i}b_{j1}+a_{2j}b_{j2}+\cdots+a_{xj}b_{jx}=\sum_{k=1}^sa_{ik}b_{kj}\\
&(i=1,2,\cdots ,m;j=1,2,\cdots n)
\end{eqnarray}
\]
并把次乘积j基座：
\[C = AB
\]
按此定义，一个1×s行矩阵与一个s×1列矩阵的乘积是一个1阶方阵，也就是一个数
\[\begin{eqnarray}
\begin{pmatrix}
a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{is}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
b_{1j}\\
b_{2j}\\
\vdots\\
b_{sj}
\end{pmatrix} &&=
a_{i1}b_{1i}+a_{i2}b_{2i}+\cdots+a_{is}b_{si}\\
&& = \sum_{k=1}^sa_{ik}b_{kj}\\
&&=c_{ij}\\
\end{eqnarray}
\]
因此矩阵AB=C的(i,j)元,cij就是A的第i行与B的第j列的乘积
注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数*时，两个矩阵才能相乘
矩阵的乘法满足如下运算规律
(1)（AB）C = A（BC）
(2) λ（AB）= （λA）B = A（λB）（λ为常数）
(3) A（B+C） = AB + AC
(4) EmAm×n = Am×n，Am×nEn=Am×n
2.3例题:求矩阵AB的乘积
\[A = \begin{pmatrix}
4&-1&2&1\\
1&1&0&3\\
0&3&1&4
\end{pmatrix}与
B = \begin{pmatrix}
1&2\\
0&1\\
3&0\\
-1&2
\end{pmatrix}
\]
解：A是一个3×4矩阵，B是4×2矩阵，A的列数等于B的行数，所以矩阵A与B的乘积是一个3×2矩阵
\[\begin{eqnarray}
C &&= AB \\
&&= \begin{pmatrix}
4&-1&2&1\\
1&1&0&3\\
0&3&1&4\\
\end{pmatrix}\\
&&=\begin{pmatrix}
4\times1+(-1)\times0+2\times3+1\times(-1)&4\times2+(-1)\times1+2\times0+1\times2\\
1\times1+1\times0+0\times3+3\times(-1)&1\times2+1\times1+0\times0+3\times2\\
0\times1+3\times0+1\times3+4\times(-1)&0\times2+3\times1+1\times0+4\times2
\end{pmatrix}\\
&&=\begin{pmatrix}
9&9\\
-2&9\\
-1&11\\
\end{pmatrix}
\end{eqnarray}
\]
3. 矩阵的转置
把矩阵A的行转成同序数的列得到一个新的矩阵，叫做A的转置矩阵,记作AT
如矩阵
\[A = \begin{pmatrix}
1&2&0\\
3&-1&1
\end{pmatrix}
\]
的转置矩阵为
\[A^T = \begin{pmatrix}
1&3\\
2&-1\\
0&1\\
\end{pmatrix}
\]
矩阵的转置也是一种运算，满足下述运算规律
（1）（AT）T = A
（2）（A+B）T = AT + BT
（3）(λA)T=λAT
（4）(AB)T=BTAT
例题
已知:
\[A = \begin{pmatrix}
2&0&-1\\
1&3&2
\end{pmatrix},
B = \begin{pmatrix}
1&7&-1\\
4&2&3\\
2&0&1
\end{pmatrix}
\]
求(AB)T
解法1
\[AB = \begin{pmatrix}
2&0&-1\\
1&3&2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&7&-1\\
4&2&3\\
2&0&1
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
0&14&-3\\
17&13&10
\end{pmatrix}\\
(AB)^T=\begin{pmatrix}
0&17\\
14&13\\
-3&10
\end{pmatrix}
\]
解法2
\[(AB)^T=B^TA^T
=\begin{pmatrix}
1&4&2\\
7&2&0\\
-1&3&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2&1\\
0&3\\
-1&2
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
0&17\\
14&13\\
-3&10
\end{pmatrix}
\]
4. 方阵的行列式
4.1 行列式
\[\begin{cases}
a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1\\
a_{21}x_1+a_{12}x_2=b_2
\end{cases}
\]
使用消元法最终得到的结果为;
\[x_1 = \frac{b_1a_{22}-a_{12}b_2}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}，
x_2 = \frac{b_2a_{11}-a_{21}b_1}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}，
\]
上述的分子，分母都是四个数分两对相乘在相减得到，其中分母a11a22-a12a21是由方程的4个系数确定，把这四个数按它们在方程中的位置，排成二行两列的数表
\[\begin{matrix}
a_{11}&a_{12}\\
a_{21}&a_{22}
\end{matrix}
\]
表达式a11a22-a12a21成为上面数表所确定的二阶行列式，并记作
\[\left |
\begin{matrix}
a_{11}&a_{12}\\
a_{21}&a_{22}
\end{matrix}
\right |
\]
数aij称为行列式的元素，简称元，元素aij的第一个下表表示行标，表示该元素位于第i行，第二个下表j称为列表，表示该元素位于第j列,a11到a22的实连线称为主对角线，a21到a21的连线称为副对角线，因此二阶行列式的值就是主对角线上的乘积减去副对角线的乘积，需要注意行列式必须是行和列相等
利用行列式求解上述方程
\[D_1 = b_1a_{22}-a_{12}b_{2}=\left |
\begin{matrix}
b_1&a_{12}\\
b_2&a_{22}
\end{matrix}
\right |,\ \ \
D_2=a_{11}b_2-b_1a_{21}=\left |
\begin{matrix}
a_{11}&b_{1}\\
a_{21}&b_2
\end{matrix}
\right |\\
D= \left |
\begin{matrix}
a_{11}&a_{12}\\
a_{21}&a_{22}
\end{matrix}
\right |
\]
那么最后的结果为;
\[x_1 =\frac {D_1}D=\frac{\left |\begin{matrix}b_1&a_{12}\\b_2&a_{22}\end{matrix}\right |}{\left |\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{matrix}\right |},\ \ \ \ x2=\frac {D_2}D=\frac{\left |\begin{matrix}a_{11}&b_{1}\\a_{21}&b_{2}\end{matrix}\right |}{\left |\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{matrix}\right |}
\]
4.2 三阶行列式
设有如下9个数排成3行3列的数表
\[\begin{matrix}
a_{11}&a_{12}&a_{13}\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}
\end{matrix}
\]
记：
\[\left |
\begin{matrix}
a_{11}&a_{12}&a_{13}\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}
\end{matrix}
\right |\\
= a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a{33}-a_{11}a_{23}a_{32}
\]
计算三阶行列式
\[D = \left |
\begin{matrix}
1&2&-4\\
-2&2&1\\
-3&4&-2\\
\end{matrix}
\right |
\]
求解过程为:
\[\begin{eqnarray}
D &&= \left |
\begin{matrix}
1&2&-4\\
-2&2&1\\
-3&4&-2\\
\end{matrix}
\right |\\
&&=1\times2\times(-2)+2\times1\times(-3)+(-4)\times(-2)\times4-\\
&&\ \ \ \ (-4)\times2\times(-3)-2\times(-2)\times(-2)-1\times1\times4\\
&&=-4+(-6)+32-24-8-4=-14
\end{eqnarray}
\]
4.3 余子式和代数余子式
在n阶行列式中，把(i,j)元aij所在的第i行和第j列划去之后，留下的n-1阶行列式叫做(i,j)元aij的余子式，记作Mij记
\[A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}
\]
Aij叫做(i,j)元aij的代数余子式
例如四阶行列式
\[D = \left |
\begin{matrix}
a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\
a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\\
\end{matrix}
\right |
\]
在(3,2)元a32的余子式和代数余子式分别为：
\[M_{32}=\left |
\begin{matrix}
a_11&a_13&a_14\\
a_21&a_23&a_24\\
a_41&a_43&a_44
\end{matrix}
\right |\\
A_{32} = (-1)^{3+2}M_{32}=-M_{32}
\]
4.4 方阵的行列式
定义：有n阶方阵A的元素所构成的横列式（个元素的位置不变），称为方阵A的行列式，记作detA或|A|
注意方阵与行列式是两个不同的概念，n阶方阵表示的是一个n2个数拍成的数表，而n阶行列式是这些数按照一定的算法计算得到的一个数
由A确定的|A|的这个原酸满足一下运算规则（设A，B为n阶方正，λ为数）
（1）|AT| = |A|
（2）|λA| = λn|A|
（3）|AB| = |A||B|
行列式|A|的各个元素的代数余子式Aij所构成的如下矩阵
\[A^*=\begin{pmatrix}
A_{11}&A_{21}&\cdots&A_{n1}\\
A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2}\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn}\\
\end{pmatrix}
\]
称为矩阵A的伴随矩阵，简称伴随阵,并且满足以下公式
\[AA^*=A^*A=|A|E
\]
5. 逆矩阵
5.1 逆矩阵的定义，性质和求法
定义对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B使
\[AB =BA = E
\]
则矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵，简称逆阵
如果矩阵A是可逆的，那么A的逆矩阵是惟一的，若B,C都是A的逆矩阵，择优
\[B = BE = B(AC) = (BA)C = EC = C
\]
因此A的逆矩阵是惟一的
A的逆矩记作A-1，使AA-1=E，故|A|*|A-1|=|E|=1,所以|A|\(\neq\) 0
定理:若|A|$\neq$0，则矩阵A可逆，且
\[A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*
\]
其中A*为矩阵A的伴随矩阵，当|A|=0时，A称为奇异矩阵，否则称非奇异矩阵
A是可逆矩阵的充分必要条件是|A|$\neq$0,即可逆矩阵就是非奇异矩阵
推论：若AB=E(或BA=E)，则B=A-1
逆矩阵满足下列规律：
(1)若A可逆，则(A-1)-1=A
(2)若A可逆，数λ$\neq\(0,则λA可逆，且(λA)<sup>-1</sup>=\)\frac{1}{\lambda}A^{-1}$
(3)若A,B为同阶矩阵且均可逆，则AB也可逆，且
\[(AB)^{-1}=B_{-1}A_{-1}
\]
(4)若A可逆，则AT也可逆，且(AT)-1=(A-1)T
5.2 求方阵的逆矩阵
\[A= \begin{pmatrix}1&2&3\\2&2&1\\3&4&3\end{pmatrix}
\]
解:
\[|A|=\left |\begin{matrix}1&2&3\\2&2&1\\3&4&3\end{matrix}\right |=2\neq0\\
\]
计算|A|的余子式得:
\[\begin{matrix}M_{11}=2&M_{12}=3&M_13=2\\M_{21}=-6&M_{22}=-6&M_23=-2\\M_{31}=-4&M_{32}=-5&M_33=-2\\\end{matrix}
\]
则:A的伴随矩阵为：
\[A^*=\begin{pmatrix}M_{11}&-M_{21}&M_{31}\\M_-{12}&M_{22}&-M_{32}\\M_{13}&-M_{23}&M_{33}\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&6&-4\\-3&-6&5\\2&2&-2\end{pmatrix}
\]
所以伴随矩阵为:
\[A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*=\begin{pmatrix}1&3&-2\\-\frac32&-3&\frac52\\1&1&-1\end{pmatrix}
\]
