0. 简介
矩阵消元
1. 消元过程
实例方程组
{
x
+
2
y
+
z
=
2
3
x
+
8
y
+
z
=
12
4
y
+
z
=
2
\begin{cases} x+2y+z=2\\ 3x+8y+z=12\\ 4y+z=2 \end{cases}
⎩
⎨
⎧x+2y+z=23x+8y+z=124y+z=2
矩阵化
A
=
[
1
2
1
3
8
1
0
4
1
]
X
=
[
x
y
z
]
A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \end{bmatrix} \\ X= \begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix}
A=
130284111
X=
xyz
B
=
[
2
12
2
]
B= \begin{bmatrix} 2\\12\\2 \end{bmatrix}
B=
2122
消元
[
1
2
1
3
8
1
0
4
1
]
⟶
(
2
,
1
)
[
1
2
1
0
2
−
2
0
4
1
]
⟶
(
3
,
2
)
[
1
2
1
0
2
−
2
0
0
5
]
\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \end{bmatrix} \stackrel{(2,1)}{\longrightarrow} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 4 & 1 \end{bmatrix} \stackrel{(3,2)}\longrightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -2\\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}
130284111
⟶(2,1)
1002241−21
⟶(3,2)
1002201−25
回代
[
2
12
2
]
⟶
r
o
w
2
−
3
r
o
w
1
[
2
6
2
]
⟶
r
o
w
3
−
2
r
o
w
2
[
2
6
−
10
]
\begin{bmatrix} 2 \\ 12 \\ 2 \end{bmatrix} \stackrel{row_2-3row_1}\longrightarrow \begin{bmatrix} 2 \\ 6 \\ 2 \end{bmatrix} \stackrel{row_3-2row_2}\longrightarrow \begin{bmatrix} 2 \\ 6 \\-10 \end{bmatrix}
2122
⟶row2−3row1
262
⟶row3−2row2
26−10
求解
[
1
2
1
0
2
−
2
0
0
5
]
[
x
y
z
]
=
[
2
6
−
10
]
\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1\\ 0 & 2 & -2\\ 0 & 0 & 5 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\z \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 2 \\ 6 \\ -10 \end{bmatrix}
1002201−25
xyz
=
26−10
结果
[
x
y
z
]
=
[
2
1
−
2
]
\begin{bmatrix} x \\y \\z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2\\1 \\ -2 \end{bmatrix}
xy