图像处理（卷积）

卷积的计算步骤：（动态演示）

对h（n）绕纵轴折叠，得h（-n）；
对h（-m）移位得h（n-m）；
将x（m）和h（n-m）所有对应项相乘之后相加得离散卷积结果y（n）。

图像处理（卷积）

说明：

令m′=n-m，做变量代换，则卷积公式变为

图像处理（卷积）

因此，x(m)与h(n-m)的位置可对调（即输入为x（n）、单位脉冲响应为h（n）的线性时不变系统与输入为h（n）、单位脉冲响应为x（n）的线性时不变系统具有同样的输出）。

离散卷积也称为“线性卷积”或“直接卷积”，以区别其它种类的卷积。

系统的稳定性与因果性

线性和时不变两个约束条件定义了一类可用褶积和表示的系统。稳定性和因果性也是很重要的限制。

稳定系统：对于每一个有界输入产生一个有界输出的系统为稳定系统。

当且仅当图像处理（卷积）时，该线性时不变系统是稳定的。

因果系统：系统的输出y（n）只取决于此时以及此时以前的输入，即取决于x（n），x（n-1），x（n-2）……。

非因果系统：系统的输出y（n）取决于未来的输入x（n+1），x（n+2），…。

说明：

许多重要的网络，如理想低通滤波器等都是非因果的不可实现系统。但数字信号处理往往是非实时的，即使是实时处理，也允许有很大的延时，这时对于某一个输出y（n）来说，已有大量的“未来”输入x（n+1）、x（n+2）……记录在存储器中可以被调用，因而可以很接近于实现这些非因果系统，也即可用具有很大延时的因果系统逼近非因果系统，这是数字系统比模拟系统更能获得接近理想特性的原因。

因果系统的充要条件：h（n）≡0，n〈0。

稳定的因果系统：既满足稳定性又满足因果性的系统。这种系统的单位脉冲响应既是单边的，又是绝对可积的，即

图像处理（卷积）

这种稳定因果系统既是可实现的又是稳定工作的，这种系统是最主要的系统。

http://zlgc.seu.edu.cn/jpkc2/ipkc/signal/new/course/one/1_3_2.htm

这里讨论利用输入图像中像素的小邻域来产生输出图像的方法，在信号处理中这种方法称为滤波（filtering）。其中，最常用的是线性滤波：输出像素是输入邻域像素的加权和。

1.相关算子（Correlation Operator)

定义：, 即，其中ｈ称为相关核(Kernel).

　　步骤：

1）滑动核，使其中心位于输入图像g的（i，j）像素上

2）利用上式求和，得到输出图像的（i，j）像素值

3）充分上面操纵，直到求出输出图像的所有像素值

　　例：

A = [17 24 1 8 15 h = [8 1 6
23 5 7 14 16 3 5 7
4 6 13 20 22 4 9 2]
10 12 19 21 3
11 18 25 2 9]

计算输出图像的（2，4）元素=

Matlab 函数：imfilter(A,h)

2.卷积算子（Convolution)

定义：，，其中

　　步骤：

1）将核围绕中心旋转180度

2）滑动核，使其中心位于输入图像g的（i，j）像素上

3）利用上式求和，得到输出图像的（i，j）像素值

4）充分上面操纵，直到求出输出图像的所有像素值

例：计算输出图像的（2，4）元素=

Matlab 函数：Matlab 函数：imfilter(A,h,\'conv\')% imfilter默认是相关算子，因此当进行卷积计算时需要传入参数\'conv\'

3.边缘效应

当对图像边缘的进行滤波时，核的一部分会位于图像边缘外面。

常用的策略包括：

1）使用常数填充：imfilter默认用0填充，这会造成处理后的图像边缘是黑色的。

2）复制边缘像素：I3 = imfilter(I,h,\'replicate\');

4.常用滤波

fspecial函数可以生成几种定义好的滤波器的相关算子的核。

例：unsharp masking 滤波

?

1

2

3

4

5

I = imread(\'moon.tif\');

h = fspecial(\'unsharp\');

I2 = imfilter(I,h);

imshow(I), title(\'Original Image\')

figure, imshow(I2), title(\'Filtered Image\')

相关和卷积是两个完全不同的概念，这一点应特别注意，虽然在数学计算上他们有类似的地方。理解这两个概念，要从他们的物理背景入手，由于篇幅的原因我只谈谈连续信号的情形供大家讨论。
研究信号离不开系统的研究，信号是系统的处理对象，系统是信号的载体。如何研究信号通过系统呢？简单说两方面：一、将信号分解为多个简单信号的和（经常用的是傅氏变换），二、系统响应求解分为零输入和零状态响应求解。如研究通信信号通过信道后变成什么样了？就是求信号通过系统的解。系统响应求解分为时域和频域，时域解法又分为经典和近代，上面所讲的就是近代时域解法。原因就是有卷积，它就是应用在零状态响应中的，其数学原理就是利用了积分的叠加性。求零状态响应，需求含有激励函数初始条件为0的非齐次方程，很自然的想法是对复杂的激励信号分解为简单的时间信号（注意正弦信号还不够简单，傅氏变换只是第一步）。连续时间系统分析，数学处理上归结为建立并求解微分方程。为了通俗下面就不那么严谨了，微分方程求解从给出函数的微分求原函数，方法虽多（高数课学的）本质微分的逆运算求积分。积分过程我们知道，应用小矩形求和代替曲边梯形，小矩形就是矩形脉冲，脉宽趋于零，矩形脉冲成了δ函数，求和成了积分（和的极限）。这就是为什么系统给出对δ函数的解即冲激响应h(t)就行了的原因，激励信号e分解为简单的时间信号就是分解为一系列δ函数和。δ函数当t≠0时均为零，对于t=t0处的e该如何表示成冲激函数呢？就是e(t0)δ(t-t0)，为何是这样呢？t-t0≠0均为零，只在t=t0取值1（为了理解这样说，δ函数定义不是这样），乘上e(t0)，不就是e在t=t0的值吗，求和就是e，反过来e也表示成δ函数和了。e通过系统，e(t0)常数，δ(t-t0)的解为h(t-t0)，最后得到e(t0)h(t-t0)，当然这是一点，还要求和。注意这里求和是积分和，因为是连续的，想想离散序列就是这样。对谁求和呢？刚才求的是t0处的，要求所有的，就是让t0变化，因此就有
∫e(t0)h(t-t0)dt0=∫e(τ)h(t-τ)dτ
搞清楚积分变量啊（它来自让t0变化）！！！这可是不和相关公式混淆的关键。正是有了卷积积分和计算机以及数值积分计算，使得时域分析仍是不可缺少的。否则缺少了上述三个因素任何一个，嘿嘿i，后果？就像有了fft。

2.由于处理信号通过系统要处理这样的积分∫e(τ)h(t-τ)dτ，能解决该积分的问题，也就解决了信号通过系统的问题。因此先辈们为了便于研究给这种积分起了个卷积积分的名字，简称卷积。同样由于单纯研究卷积（不用考虑物理背景，数学化的常用方法或思维），上式就写成了两个函数x(t)、y(t)的卷积R(t)=∫x(τ)y(t-τ)dτ，然后有了诸多性质和算法。但回到信号处理当中你要能解释其中物理的含义，要知道x(t)、y(t)代表了e(t)、h(t)而不会被外在的东西搞混。

3.相关最早是用来概率论中描述随机变量之间关系的概念，如相关系数。实际上信号一般是一个随机过程，为了实现信号的检测、识别与提取，经常要了解两个信号的相似性，或一个信号经过一段延迟后自身的相似性。但相关系数有缺陷，因为分子是两个信号的内积，如sinx和cosx,从波形上看只是相位不同，而相关系数为零（因为正弦和余弦正交），因此引进相关函数，将原来两函数直接内积改为一个函数和另一个函数的延迟作内积。确定性信号也有同样的概念，其相关公式和卷积公式很像，且能利用卷积表示，所以有人就觉得两个概念也有关系，其实二者从概念没有任何联系。由于相关函数第一个函数和第二个函数的延迟作内积，所以相关函数不满足交换，而卷积可以。延迟不同结果不同，所以相关系数是个数，而相关函数是函数是延迟的函数。公式为
R(τ)=∫x(t)y(t+τ)dt
积分是计算内积，因此是对原来函数自变量积分，得到的是延迟τ的函数，所以和卷积公式很像，但其中每个量的物理意义是不同的，一定要清楚。
因计算问题上是纯数学问题，不用考虑物理背景，因此由两个公式，注意变量的符号，经积分变换，变为一致，就有x(t)与y(t)互相关函数R(t)=x(-t)*y(t),*是卷积。

浅议“卷积”

在泛函分析中，卷积是通过两个函数f 和g 生成第三个函数的一种数学算子，表征函数f 与经过翻转和平移的g 的重叠部分的累积。如果将参加卷积的一个函数看作区间的指示函数，卷积还可以被看作是“滑动平均”的推广。

一、简单介绍

卷积是分析数学中一种重要的运算。设: f(x),g(x)是R1上的两个可积函数，作积分：

可以证明，关于几乎所有的，上述积分是存在的。这样，随着 x 的不同取值，这个积分就定义了一个新函数h(x)，称为函数f 与g 的卷积，记为h(x)＝(f*g)(x)。容易验证，(f * g)(x) ＝ (g * f)(x)，并且(f * g)(x) 仍为可积函数。这就是说，把卷积代替乘法，L1（R1）1空间是一个代数，甚至是巴拿赫代数。

卷积与傅里叶变换有着密切的关系。利用一点性质，即两函数的傅里叶变换的乘积等于它们卷积后的傅里叶变换，能使傅里叶分析中许多问题的处理得到简化。

由卷积得到的函数f*g 一般要比f 和g 都光滑。特别当g 为具有紧支集的光滑函数，f 为局部可积时，它们的卷积f * g 也是光滑函数。利用这一性质，对于任意的可积函数f，都可以简单地构造出一列逼近于f 的光滑函数列fs，这种方法称为函数的光滑化或正则化。

卷积的概念还可以推广到数列、测度以及广义函数上去。

二、定义

函数f 与g 的卷积记作，它是其中一个函数翻转并平移后与另一个函数的乘积的积分，是一个对平移量的函数。

积分区间取决于f 与g 的定义域。

三、快速卷积算法

当是有限长度 N ，需要约 N² 次运算。借由一些快速算法可以降到 O(N log N) 复杂度。

最常见的快速卷积算法是借由圆周卷积利用快速傅里叶变换。也可借由其它不包含 FFT 的做法，如数论转换。

四、卷积定理

卷积定理指出，函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶变换的乘积。即，一个域中的卷积相当于另一个域中的乘积，例如时域中的卷积就对应于频域中的乘积。

这一定理对拉普拉斯变换、双边拉普拉斯变换、Z变换、Mellin变换和Hartley变换等各种傅里叶变换的变体同样成立。在调和分析中还可以推广到在局部紧致的阿贝尔群上定义的傅里叶变换。

利用卷积定理可以简化卷积的运算量。对于长度为n的序列，按照卷积的定义进行计算，需要做2n - 1组对位乘法，其计算复杂度为；而利用傅里叶变换将序列变换到频域上后，只需要一组对位乘法，利用傅里叶变换的快速算法之后，总的计算复杂度为。这一结果可以在快速乘法计算中得到应用。

五、应用

卷积在工程和数学上都有很多应用：

统计学中，加权的滑动平均是一种卷积。
概率论中，两个统计独立变量X与Y的和的概率密度函数是X与Y的概率密度函数的卷积。
声学中，回声可以用源声与一个反映各种反射效应的函数的卷积表示。
电子工程与信号处理中，任一个线性系统的输出都可以通过将输入信号与系统函数（系统的冲激响应）做卷积获得。
物理学中，任何一个线性系统（符合叠加原理）都存在卷积。

卷积

在泛函分析中，卷積(捲積)、旋積或摺積，是通过两个函数f 和g 生成第三个函数的一种数学算子，表徵函数f 与经过翻转和平移的g 的重叠部分的累积。如果将参加卷积的一个函数看作区间的指示函数，卷积还可以被看作是“滑動平均”的推广。

简单介绍

卷积是分析数学中一种重要的运算。设: f(x),g(x)是 $\mathbb{R}$ 上的两个可积函数，作积分：

$\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) g(x - \tau)\, \mathrm{d}\tau$

可以证明，关于几乎所有的 $x \in (-\infty,\infty)$ ，上述积分是存在的。这样，随着 x 的不同取值，这个积分就定义了一个新函数h(x)，称为函数f 与g 的卷积，记为h(x) = (f * g)(x)。容易验证，(f * g)(x) = (g * f)(x)，并且(f * g)(x) 仍为可积函数。这就是说，把卷积代替乘法，L¹(R¹) 空间是一个代数，甚至是巴拿赫代数。

由卷积得到的函数 f * g 一般要比 f 和 g 都光滑。特别当 g 为具有紧支集的光滑函数，f 为局部可积时，它们的卷积 f * g 也是光滑函数。利用这一性质，对于任意的可积函数 f，都可以简单地构造出一列逼近于 f 的光滑函数列 f_s，这种方法称为函数的光滑化或正则化。

卷积的概念还可以推广到数列、测度以及广义函数上去。

定义

函数f 与g 的卷积记作 $f \star g$ ，它是其中一个函数翻转并平移后与另一个函数的乘积的积分，是一个对平移量的函数。

$(f \star g )(t) = \int f(\tau) g(t - \tau)\, d\tau$

积分区间取决于f 与g 的定义域。

对于定义在离散域的函数，卷积定义为

$(f \star g)[m] = \sum_n {f[n] g[m - n]}$

快速卷积算法

当 $f[n]\,$ 是有限长度 N ，需要约 N² 次运算。藉由一些快速算法可以降到 O(Nln N) 复杂度。

最常见的快速卷积算法是藉由圓周摺積利用快速傅里叶变换。也可藉由其它不包含 FFT 的做法，如数论转换。

多元函数卷积

按照翻转、平移、积分的定义，还可以类似的定义多元函数上的积分：

$(f \star g )(t_1,t_2,\cdots,t_n) = \int\int\cdots\int f(\tau_1,\tau_2,\cdots,\tau_n) g(t_1 - \tau_1,t_2 - \tau_2,\cdots,t_n - \tau_n,)\, d\tau_1 d\tau_2 \cdots d\tau_n$

性质

各种卷积算子都满足下列性质：

交换律: $f \star g = g \star f \,$

结合律: $f \star (g \star h) = (f \star g) \star h \,$

分配律: $f \star (g + h) = (f \star g) + (f \star h) \,$

数乘结合律: $a (f \star g) = (a f) \star g = f \star (a g) \,$

其中a为任意实数（或复数）。

微分定理: $\mathcal{D}(f \star g) = \mathcal{D}f \star g = f \star \mathcal{D}g \,$

其中Df 表示f的微分，如果在离散域中则是指差分算子，包括前向差分与后向差分两种：

前向差分： $\mathcal{D}^+f(n) = f(n+1) - f(n)$
后向差分： $\mathcal{D}^-f(n) = f(n) - f(n-1)$

卷积定理

卷积定理指出，函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶变换的乘积。即，一个域中的卷积相当于另一个域中的乘积，例如时域中的卷积就对应于频域中的乘积。

$\mathcal{F}(f \star g) = \mathcal{F} (f) \cdot \mathcal{F} (g)$

其中 $\mathcal{F}(f)$ 表示f 的傅里叶变换。

这一定理对拉普拉斯变换、双边拉普拉斯变换、Z变换、Mellin变换和Hartley变换（参见Mellin inversion theorem）等各种傅里叶变换的变体同样成立。在调和分析中还可以推广到在局部紧致的阿贝尔群上定义的傅里叶变换。

利用卷积定理可以简化卷积的运算量。对于长度为n的序列，按照卷积的定义进行计算，需要做2n − 1组对位乘法，其计算复杂度为 $\mathcal{O}(n^2)$ ；而利用傅里叶变换将序列变换到频域上后，只需要一组对位乘法，利用傅里叶变换的快速算法之后，总的计算复杂度为 $\mathcal{O}(n\log n)$ 。这一结果可以在快速乘法计算中得到应用。

在群上的卷积

若 G 是有某 m 测度的群（例如豪斯多夫空间上哈尔测度下局部紧致的拓扑群），对于G 上 m-勒贝格可积的实数或复数函数f 和g，可定义它们的卷积：

$(f \star g)(x) = \int_G f(y)g(xy^{-1})\,dm(y) \,$

对于这些群上定义的卷积同样可以给出诸如卷积定理等性质，但是这需要对这些群的表示理论以及调和分析的彼得-外尔定理。

应用

卷积在工程和数学上都有很多应用：

统计学中，加权的滑动平均是一种卷积。
概率论中，两个统计独立变量X与Y的和的概率密度函数是X与Y的概率密度函数的卷积。
声学中，回声可以用源声与一个反映各种反射效应的函数的卷积表示。
电子工程与信号处理中，任一个线性系统的输出都可以通过将输入信号与系统函数（系统的冲激响应）做卷积获得。
物理学中，任何一个线性系统（符合叠加原理）都存在卷积。

参见

外部链接

PlanetMath上Convolution的資料。
Visual convolution Java Applet

来自“http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=卷积&oldid=18610515”

卷积convolution

定义：数学中关于两个函数的一种无穷积分运算。对于函数f1(t)和f2(t)，其卷积表示为：式中：“”为卷积运算符号。
应用学科：电力（一级学科）；通论（二级学科）

在泛函分析中，卷积(卷积)、旋积或摺积(英语：Convolution)是通过两个函数f 和g 生成第三个函数的一种数学算子，表徵函数f 与经过翻转和平移与g 的重叠部分的累积。如果将参加卷积的一个函数看作区间的指示函数，卷积还可以被看作是“滑动平均”的推广。

基本内涵

　　简单介绍

卷积的定义

卷积是分析数学中一种重要的运算。设: f(x),g(x)是R1上的两个可积函数，作积分（如右图）：　　可以证明，关于几乎所有的实数x，上述积分是存在的。这样，随着 x 的不同取值，这个积分就定义了一个新函数h(x)，称为函数f 与g 的卷积，记为h(x)=(f*g)(x)。容易验证，(f * g)(x) = (g * f)(x)，并且(f * g)(x) 仍为可积函数。这就是说，把卷积代替乘法，L1（R1）1空间是一个代数，甚至是巴拿赫代数。　　卷积与傅里叶变换有着密切的关系。利用一点性质，即两函数的傅里叶变换的乘积等于它们卷积后的傅里叶变换，能使傅里叶分析中许多问题的处理得到简化。　　由卷积得到的函数f*g 一般要比f 和g 都光滑。特别当g 为具有紧致集的光滑函数，f 为局部可积时，它们的卷积f * g 也是光滑函数。利用这一性质，对于任意的可积函数f，都可以简单地构造出一列逼近于f 的光滑函数列fs，这种方法称为函数的光滑化或正则化。　　卷积的概念还可以推广到数列、测度以及广义函数上去。

定义

函数f与g的卷积记作，它是其中一个函数翻转并平移后与另一个函数的乘积的积分，是一个对平移量的函数。　　积分区间取决于f与g的定义域。　　函数f与g的卷积可以定义为： z(t)=f(t)*g(t)= ∫f(m)g(t-m)dm. 　　对于定义在离散域的函数，卷积定义为

快速卷积算法

　　当是有限长度 N，需要约 N^2次运算。藉由一些快速算法可以降到 O(Nlog N) 复杂度。　　最常见的快速卷积算法是藉由圆周摺积利用快速傅里叶变换。也可藉由其它不包含 FFT 的做法，如数论转换。

多元函数卷积

　　按照翻转、平移、积分的定义，还可以类似的定义多元函数上的积分：

性质

　　各种卷积算子都满足下列性质：　　交换律结合律分配律数乘结合律其中a为任意实数（或复数）。　　微分定理其中Df 表示f的微分，如果在离散域中则是指差分算子，包括前向差分与后向差分两种：　　前向差分：后向差分：

卷积定理

　　卷积定理指出，函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶变换的乘积。即，一个域中的卷积相当于另一个域中的乘积，例如时域中的卷积就对应于频域中的乘积。　　其中表示f 的傅里叶变换。　　这一定理对拉普拉斯变换、双边拉普拉斯变换、Z变换、Mellin变换和Hartley变换（参见Mellin inversion theorem）等各种傅里叶变换的变体同样成立。在调和分析中还可以推广到在局部紧致的阿贝尔群上定义的傅里叶变换。　　利用卷积定理可以简化卷积的运算量。对于长度为n的序列，按照卷积的定义进行计算，需要做2n - 1组对位乘法，其计算复杂度为；而利用傅里叶变换将序列变换到频域上后，只需要一组对位乘法，利用傅里叶变换的快速算法之后，总的计算复杂度为。这一结果可以在快速乘法计算中得到应用。

在群上的卷积

　　若G 是有某m测度的群（例如豪斯多夫空间上Harr测度下局部紧致的拓扑群），对于G 上m-勒贝格可积的实数或复数函数f 和g，可定义它们的卷积：　　对于这些群上定义的卷积同样可以给出诸如卷积定理等性质，但是这需要对这些群的表示理论以及调和分析的Peter-Weyl定理。

应用

　　卷积在工程和数学上都有很多应用： 统计学中，加权的滑动平均是一种卷积。 概率论中，两个统计独立变量X与Y的和的概率密度函数是X与Y的概率密度函数的卷积。 声学中，回声可以用源声与一个反映各种反射效应的函数的卷积表示。电子工程与信号处理中，任一个线性系统的输出都可以通过将输入信号与系统函数（系统的冲激响应）做卷积获得。物理学中，任何一个线性系统（符合叠加原理）都存在卷积。　　介绍一个实际的概率学应用例子。假设需求到位时间的到达率为possion(λ)分布，需求的大小的分布函数为D（.)，则单位时间的需求量的分布函数为 F(x)：

卷积应用(1张)

　　其中 D(k)(x)为k阶卷积。　　卷积是一种线性运算,图像处理中常见的mask运算都是卷积，广泛应用于图像滤波。castlman的书对卷积讲得很详细。　　高斯变换就是用高斯函数对图像进行卷积。高斯算子可以直接从离散高斯函数得到：　　for(i=0; i<N; i++) 　　{ 　　for(j=0; j<N; j++) 　　{ 　　g[i*N+j]=exp(-((i-(N-1)/2)^2+(j-(N-1)/2)^2))/(2*delta^2)); 　　sum += g[i*N+j]; 　　} 　　} 　　再除以 sum 得到归一化算子　　N是滤波器的大小，delta自选　　首先，再提到卷积之前，必须提到卷积出现的背景。卷积是在信号与线性系统的基础上或背景中出现的，脱离这个背景单独谈卷积是没有任何意义的，除了那个所谓褶反公式上的数学意义和积分（或求和，离散情况下）。　　信号与线性系统，讨论的就是信号经过一个线性系统以后发生的变化（就是输入输出和所经过的所谓系统，这三者之间的数学关系）。所谓线性系统的含义，就是，这个所谓的系统，带来的输出信号与输入信号的数学关系式之间是线性的运算关系。　　因此，实际上，都是要根据我们需要待处理的信号形式，来设计所谓的系统传递函数，那么这个系统的传递函数和输入信号，在数学上的形式就是所谓的卷积关系。　　卷积关系最重要的一种情况，就是在信号与线性系统或数字信号处理中的卷积定理。利用该定理，可以将时间域或空间域中的卷积运算等价为频率域的相乘运算，从而利用FFT等快速算法，实现有效的计算，节省运算代价。

扩展阅读：

线性时不变系统linear time invariant（LTI）

　　它包括连续时间系统与离散时间系统

线性系统和非线性系统的概念

　　线性系统有两种定义：（1）根据系统的输入和输出关系是否具有线性来定义满足叠加原理的系统具有线性特性。即若对两个激励x1(n)和x2(n)，有T[ax1(n)+bx2(n)]=aT[x1(n)]+bT[x2(n)]，式中a、b为任意常数。不满足上述关系的为非线性系统。（2）根据组成系统的元件特性来定义由线性元件和独立电源组成的系统。^[1]

时不变系统

　　时不变系统：就是系统的参数不随时间而变化，即不管输入信号作用的时间先后，输出信号响应的形状均相同，仅是从出现的时间不同。用数学表示为T[x(n)]=y[n]则 T[x(n-n0)]=y[n-n0]，这说明序列x(n)先移位后进行变换与它先进行变换后再移位是等效的。

线性时不变系统

　　线性时不变系统：既满足叠加原理又具有时不变特性，它可以用单位脉冲响应来表示。单位脉冲响应是输入端为单位脉冲序列时的系统输出，一般表示为h(n)，即h(n)=T[δ(n)]。　　任一输入序列x(n)的相应y(n)=T[x(n)]=T[ δ(n-k)]；　　由于系统是线性的，所以上式可以写成y(n)=T[δ(n-k)]；　　又由于系统是时不变的，即有T[δ(n-k)]＝h(n-k)；　　从而得y(n)=h(n-k)=x(n)*h(n)；　　这个公式称为离散卷积，用“*”表示。

线性时不变系统的性质

齐次性

　　若激励f(t)产生的响应为y(t)，则激励Af(t)产生的响应即为Ay(t)，此性质即为齐次性。其中A为任意常数。　　f(t)系统y(t)，Af(t)系统Ay(t)

叠加性

　　若激励f1(t)与f2(t)产生的响应分别为y1(t)， y2(t)，则激励f1(t)+f2(t)产生的应即为y1(t)+y2(t)，此性质称为叠加性。

线性

　　若激励f1(t)与f2(t)产生的响应分别为y1(t)， y2(t)，则激励A1f1(t)+A2f2(t)产的响应即为A1y1(t)+A2y2(t)，此性质称为线性。

时不变性

　　若激励f(t)产生的响应为y(t)，则激励f(t-t0)产生的响应即为y(t-t0)，此性质称为不变性，也称定常性或延迟性。它说明，当激励f(t)延迟时间t0时，其响应y(t)也延迟时间t0，且波形不变。

微分性

　　若激励f(t)产生的响应为y(t)，则激励f\'(t)产生的响应即y’(t),为此性质即为微分性。

积分性

　　若激励f(t)产生的响应为y(t)，则激励f(t)的积分产生的响应即为y(t)的积分。此性质称为积分性。

参考资料

《信号与系统》（第二版）吕幼新张明友电子工业出版社

卷积定理

卷积定理指出，函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶变换的乘积。即一个域中的卷积对应于另一个域中的乘积，例如时域中的卷积对应于频域中的乘积。

$\mathcal{F}(f \star g) = \mathcal{F} (f) \cdot \mathcal{F} (g)$

其中 $\mathcal{F}(f)$ 表示f 的傅里叶变换。

借由傅里叶逆变换 $\mathcal{F}^{-1}$ ，也可以写成

$f \star g= \mathcal{F}^{-1}\big\{\mathcal{F} (f) \cdot \mathcal{F} (g)\big\}$

注意以上的写法只对特定形式定义的变换正确，变换可能由其它方式正规化，使得上面的关系式中出现其它的常数因子。

证明

$F(\nu) = \mathcal{F}\{f\} = \int_{\mathbb{R}} f(x) e^{-2 \pi i x\cdot\nu} \,dx$

$G(\nu) = \mathcal{F}\{g\} = \int_{\mathbb{R}}g(x) e^{-2 \pi i x\cdot\nu} \,dx$ .

$h(z) = \int\limits_{\mathbb{R}} f(x) g(z-x)\, \mathrm{d} x.$

$\int\!\!\int |f(z)g(x-z)|\,dx\,dz=\int |f(z)| \int |g(z-x)|\,dx\,dz = \int |f(z)|\,\|g\|_1\,dz=\|f\|_1 \|g\|_1.$

$\begin{align} H(\nu) = \mathcal{F}\{h\} &= \int_{\mathbb{R}} h(z) e^{-2 \pi i z\cdot\nu}\, dz \\ &= \int_{\mathbb{R}} \int_{\mathbb{R}^n} f(x) g(z-x)\, dx\, e^{-2 \pi i z\cdot \nu}\, dz. \end{align}$