傅氏变换分析是信号分析中很重要的方法，借助matlab可以很方便的对各类信号进行傅氏频域分析。本文介绍了集中离散的傅氏变换以及matlab实现方法。
1.离散序列的傅里叶变换DTFT(Discrete Time Fourier Transform)
代码：
1 N=8; %原离散信号有8点 2 n=[0:1:N-1] %原信号是1行8列的矩阵 3 xn=0.5.^n; %构建原始信号，为指数信号 4 5 w=[-800:1:800]*4*pi/800; %频域共-800----+800 的长度（本应是无穷，高频分量很少，故省去） 6 X=xn*exp(-j*(n\'*w)); %求dtft变换，采用原始定义的方法，对复指数分量求和而得 7 subplot(311) 8 stem(n,xn); 9 title(\'原始信号(指数信号)\'); 10 subplot(312); 11 plot(w/pi,abs(X)); 12 title(\'DTFT变换\')
结果：
分析：可见，离散序列的dtft变换是周期的，这也符合Nyquist采样定理的描述，连续时间信号经周期采样之后，所得的离散信号的频谱是原连续信号频谱的周期延拓。
2.离散傅里叶变换DFT(Discrete Fourier Transform)
与1中DTFT不一样的是，DTFT的求和区间是整个频域，这对计算机的计算来说是不可以实现的，DFT就是序列的有限傅里叶变换。实际上，1中我给的代码也只是对频域的-800----+800中间的1601点求了和，也不是无数次求和。
实现代码：
N=8; %原离散信号有8点 n=[0:1:N-1] %原信号是1行8列的矩阵 xn=0.5.^n; %构建原始信号，为指数信号 w=[-8:1:8]*4*pi/8; %频域共-800----+800 的长度（本应是无穷，高频分量很少，故省去） X=xn*exp(-j*(n\'*w)); %求dtft变换，采用原始定义的方法，对复指数分量求和而得 subplot(311) stem(n,xn); w1=[-4:1:4]*4*pi/4; X1=xn*exp(-j*(n\'*w1)); title(\'原始信号(指数信号)\'); subplot(312); stem(w/pi,abs(X)); title(\'原信号的16点DFT变换\') subplot(313) stem(w1/pi,abs(X1)); title(\'原信号的8点DFT变换\')
结果图：
分析：DFT只是DTFT的现实版本，因为DTFT要求求和区间无穷，而DFT只在有限点内求和。
3.快速傅里叶变换FFT（Fast Fourier Transform）
虽然DFT相比DTFT缩减了很大的复杂度，但是任然有相当大的计算量，不利于信息的实时有效处理，1965年发现的DFT解决了这一问题。
实现代码：
1 N=64; %原离散信号有8点 2 n=[0:1:N-1] %原信号是1行8列的矩阵 3 xn=0.5.^n; %构建原始信号，为指数信号 4 Xk=fft(xn,N); 5 subplot(221); 6 stem(n,xn); 7 title(\'原信号\'); 8 subplot(212); 9 stem(n,abs(Xk)); 10 title(\'FFT变换\')
效果图：
分析：由图可见，fft变换的频率中心不在0点，这是fft算法造成的，把fft改为fftshift可以将频率中心移到0点。