RSA简介(三)——寻找质数

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　　作者：窗户

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　　要生成RSA的密钥，第一步就是要寻找质数，本节专讲如何寻找质数。

　　

　　我们的质数（又称素数）、合数一般是对正整数来讲，质数就是只有1和本身两个的正整数，合数至少有3个约数，而1既不是合数也不是质数。

　　质数有无穷多个，这个早在古希腊时期就被证明了，使用反证法很容易证明：假设质数只有有限多，分别为a₁.....a_n，则a₁*a₁....*a_n+1大于所有的质数，却不以任何质数为约数，推出矛盾，从而假设错误。

　　

　　在质数的分布上，有个定理：

　　lim　　∏ (n)/(n/ln(n)) = 1

　　n→∞

　  其中∏ (n)是小与等于n的质数的个数。

　　找质数的第一个门槛还是靠随机，上述公式，可以推导出质数的密度ρ (n)（因为∏ (n)并非连续函数，此处密度只是概率上的密度）为

　　lim　ρ (n)/(n/ln(n))‘ = 1

　　n→∞

　(n/ln(n))' = (ln(n)-1)/ln²(n)，

　　从而

　　

　　lim　ρ (n)/(1/ln(n)) = 1

　　 n→∞

　　那么，在n附近寻找质数，大约平均每ln(n)次可以找到一个质数。

　　涉及到密钥的生成，随机算法要小心了，用时间种子与伪随机算法一起当然是不安全的，最好以硬件随机为基础的随机数，这样无规律，难以从密钥生成机制直接下手破解。

　　

　　接下来就需要质数判定算法。

　　最土的算法：判断p是不是质数，就从2开始，挨个整数判断到p-1,看看是否其中有p的约数，如果没有，就是质数。

　　这个算法效率太低O(p)，但输入的信息量是p的位数级别，所以此算法应为指数级算法。

　　明显提高的算法：如果p是合数，那么必然有一个不为1的约数小于或等于sqrt(p)，于是刚才从2挨个整数判断到p-1修整一下，只需要判断到sqrt(p)即可。

　　这个算法效率比前面那个算法好太多了，可是依然是指数级算法，只是指数从线性下降到平方根级别。

　　可是我们RSA这里的指数动辄几百个bits，甚至两千多个bits，此种算法一样不靠谱。虽然上述算法还可以继续优化，比如测试了一个整数不是p的约数，就尽量不要测试这个整数的整数倍，只是，算法依然很慢。实际上，的确存在多项式级别的确定质数判定算法，第一个这样的算法是AKS算法，2002年由印度人解决。但目前靠谱的算法都是如此的慢，我们需要基于概率的判定方法。

　　前两节谈到了模乘群，对于质数p，所有的小于p的正整数在模乘下构成一个群，该群的阶为p-1，则p-1是所有小于p的正整数以p为模的模乘周期的整数倍，这就是著名的费马小定理：

　　如果a和p互质，且p为质数，则a^p-1%p=1

　　费马小定理虽然没有给出一个质数的鉴定方法，但告诉了我们，如果右边等号不成立，则p一定是合数，而基于概率的判定方法一般都会以费马小定理作为基础零件。RSA中一般用Miller-Rabin算法。

　　Miller-Rabin算法同时利用了另外一个定义:

　　p是质数，x是正整数，x²%p=1，那么x%p=1或者x%p=p-1

　　完整描述Miller-Rabin算法如下:(https://en.wikipedia.org/wiki/Miller–Rabin_primality_test)　

write n −  as **r·d with d odd by factoring powers of  from n −
WitnessLoop: repeat k times:
   pick a random integer a in the range [, n − ]
   x ← ad mod n
   if x =  or x = n −  then
      continue WitnessLoop
   repeat r −  times:
      x ← x·x mod n
      if x =  then
         return composite
      if x = n −  then
         continue WitnessLoop
   return composite
return probably prime

　　里面用到了第二节提到的模幂算法，用bc实现了一遍Miller-Rabin算法，因为bc里面无自带随机函数，就直接利用标准输入来输入随机数了，整个实现如下：

#!/usr/bin/bc -q
define mod_mul(a1,a2,n)
{
        return a1*a2%n;
}
define mod_exp(a,b,n)/* a^b%n */
{
        while(b%2==0) {
                a = mod_mul(a,a,n);
                b /= 2;
        }
        ret = a;
        b /= 2;
        while(b!=0) {
                a = mod_mul(a,a,n);
                if(b%2 == 1)
                        ret = mod_mul(a,ret,n);
                b /= 2;
        }
        return ret;
}
define Miller_Rabin(p, t)
{
        if(p==1) {
                return 0;
        }
        if(p<3) {
                return 1;
        }
        if(p%2==0) {
                return 0;
        }

}
define get_rand_num()
{
        return read();
}

define Miller_Rabin_test(n, k)
{
        d = n-1;
        r = 0;
        while(d%2!=1) {
                d /= 2;
                r++;
        }

        for(i=0;i<k;i++) {
                a = get_rand_num();
                x = mod_exp(a,d,n);
                if(x==1||x==n-1) {
                        continue;
                }
                for(j=1;j<r;j++) {
                        x = mod_mul(x,x,n);
                        if(x==1) {
                                return 0;
                        } else if(x==n-1) {
                                j = r;
                                continue;
                        }
                }
                if(j==r) {
                        return 0;
                }
        }
        return 1;
}