（首先要%miskcoo，这位dalao写的博客(这里)实在是太强啦qwq大部分多项式相关的知识都是从这位dalao博客里面学的，下面这篇东西是自己对其博客学习后的一些总结和想法，大部分是按照其博客里面的思路来分析的，并添加了一些自己的理解）
多项式求逆（元）
- 定义
对于一个多项式\(A(x)\)，如果存在一个多项式\(B(x)\)，满足\(B(x)\)的次数小于等于\(A(x)\)且\(A(x)B(x)\equiv 1(mod\ x^n)\)，那么我们称\(B(x)\)为\(A(x)\)在模\(x^n\)意义下的逆元，简单记作\(A^{-1}(x)\)
- 求解
从最简单的情况开始考虑，当\(n=1\)的时候\(A(x)\equiv\ c\ (mod\ x)\)，\(c\)为\(A(x)\)的常数项，此时\(A^{-1}(x)\)为\(c\)的逆元
在这个基础上我们继续考虑一般情况
对于\(n>1\)的情况，不妨设\(B(x)=A^{-1}(x)\)，那么我们可以根据定义列出下面的式子：
\[
A(x)B(x)\equiv 1(mod\ x^n)
\]
这里的话考虑用倍增的方式求解（算倍增吧），这里假设我们已经知道了\(A(x)\)在\(mod\ x^{\lceil \frac{n}{2} \rceil}\)下的逆元\(G(x)\)，那么有：
\[
A(x)G(x)\equiv 1(mod\ x^{\lceil \frac{n}{2} \rceil})
\]
我们把\(A(x)\)和\(B(x)\)的式子写成\(mod\ x^{\lceil \frac{n}{2} \rceil}\)下的：
（可以这么写是因为\(mod\ x^n\)相当于将乘积中\(x\)次数大于等于\(n\)的忽略掉了，而\(mod\ x^{\lceil \frac{n}{2} \rceil}\)则相当于忽略了更多的项，既然前者满足，那么后者肯定也满足）
\[ A(x)B(x)\equiv 1 (mod\ x^{\lceil \frac{n}{2} \rceil}) \]
把这两条式子相减，就可以搞事情了：
\[
\begin{aligned}
A(x)[B(x)-G(x)]&\equiv 0\ (mod\ x^{\lceil \frac{n}{2} \rceil})\\
B(x)-G(x)&\equiv 0\ (mod\ x^{\lceil \frac{n}{2} \rceil})\\
\end{aligned}
\]
然后我们两边平方一下：
\[
B^2(x)-2B(x)G(x)+G^2(x)\equiv 0\ (mod\ x^{\lceil \frac{n}{2} \rceil})
\]
然后这里有个很神奇的事情，\(B(x)-G(x)\) 在\(mod\ x^{\lceil \frac{n}{2} \rceil}\)下为0，说明这个式子最后的结果的\(0\)到\(\lceil \frac{n}{2} \rceil -1\)次项系数都为\(0\)，平方了之后，对于结果的\(i\)次项系数，（\(0<=i<=2*\lceil \frac{n}{2} \rceil -1\) ），其系数\(a_i = \sum\limits_{j=0}^{i}a_j a_{i-j}\)，而\(a_j\)和\(a_{i-j}\)中必定有一项为\(0\)（因为\(j\)和\(i-j\)中必定有一个值小于\(\lceil \frac{n}{2} \rceil\)），所以我们可以得到一个结论，这个式子在平方了之后在\(mod \ x^n\)下也是\(0\)
那么我们就可以写成：
\[
\begin{aligned}
B^2(x)-2B(x)G(x)+G^2(x)&\equiv 0\ (mod\ x^n)\\
A(x)B(x)*B(x)-2*A(x)B(x)*G(x)+A(x)G^2(x)&\equiv 0\ (mod\ x^n)\\
\end{aligned}
\]
两边同时乘上\(A(x)\)，由逆元的定义我们可以将上面的式子化简成下面这样：
\[
B(x)-2G(x)+G^2(x)\equiv 0\ (mod\ x^n)
\]
最后得到：
\[
B(x)\equiv 2G(x)-A(x)G(x)\ (mod\ x^n)
\]
也就是说，如果我们知道\(G(x)\)，我们就可以推出\(B(x)\)了
具体的实现可以用递归的方式实现，中间的多项式乘法可以用fft加速一下，那么最终的时间复杂度就是
\[
T(n)=T(\frac{n}{2})+O(n \ log\ n)=O(n\ log \ n)
\]
然而为啥这样搞完了还是一个log呢？因为每次递归下去多项式的最高次数都会减半，稍微算一下就会发现最后总的时间复杂度合起来还是一个log而不是两个
注意，后面这一堆推式子的过程是建立在\(n=1\)的时候有解的前提下的，所以我们还可以得到一个结论：一个多项式在\(mod\ x^n\)下是否有逆元取决于其常数项在\(mod \ x^n\)下是否有逆元
- 实现
首先先实现一个namespace NTT，然后除了基础的函数外主要供外部调用的过程是这个：
void Ntt_getinv(vct &a,vct &b,int n,int m){
prework(a,b,n,2*m);//这里注意因为后面是A*B*B，所以m要*2
ntt(A,1);
ntt(B,1);
for (int i=0;i<len;++i)
B[i]=(2LL-1LL*A[i]*B[i]%MOD+MOD)*1LL*B[i]%MOD;
ntt(B,-1);
}然后求逆的过程大概是这样（这里用vector来写了）：
vct Inv(vct a){
int N=a.size();
if (N==1){
a[0]=ksm(a[0],MOD-2);
return a;
}
vct b=a; b.resize((N+1)>>1);
b=Inv(b); b.resize(N);
NTT::Ntt_getinv(a,b,N,N);
b.resize(NTT::len);
for (int i=0;i<NTT::len;++i) b[i]=NTT::B[i];
b.resize(N);
return b;
}求逆大概就是这样吧ovo
多项式开根
- 定义
对于一个多项式\(A(x)\)，如果存在一个多项式\(B(x)\)，满足\(B^2(x)\equiv\ A(x) (mod\ x^n)\)，则称\(B(x)\)为\(A(x)\)在\(mod\ x^n\)下的平方根
- 求解
同样是考虑最简单的情况，当\(n=0\)的时候，\(B(x)\)的常数项就是\(1\)
然后考虑一般情况，同样的思路，考虑用倍增的方式来求
假设我们已经知道了\(A(x)\)在\(mod\ x^{\lceil \frac{n}{2} \rceil}\)下的平方根\(G(x)\)，现在要求在\(mod\ x^n\)下的平方根\(B(x)\)，根据定义我们可以列出式子：
\[
\begin{aligned}
B^2(x)&\equiv A(x)(mod\ x^n)\\
G^2(x)&\equiv A(x)(mod\ x^{\lceil \frac{n}{2} \rceil})
\end{aligned}
\]
用类似多项式求逆中的分析，我们可以知道第一条式子在\(mod\ x^{\lceil \frac{n}{2} \rceil}\)下也成立，得到：
\[
B^2(x)\equiv A(x)(mod\ x^{\lceil \frac{n}{2} \rceil})
\]
同样两式相减一下得到：
\[
[B^2(x)-G^2(x)]\equiv 0\ (mod\ x^{\lceil \frac{n}{2} \rceil})
\]
接下来就是跟上面多项式求逆中一样的套路了，平方一下得到：
\[
[B^2(x)-G^2(x)]^2\equiv 0\ (mod\ x^{\lceil \frac{n}{2} \rceil})
\]
同样的道理，这条式子在\(mod\ x^n\)下也成立，那么：
\[
\begin{aligned}
(B^2(x)-G^2(x))^2\ &\equiv 0\ (mod\ x^n)\\
B^4(x)-2B^2(x)G^2(x)+G^4(x)&\equiv 0\ (mod\ x^n)\\
(B^2(x)+G^2(x))^2&\equiv (2B(x)G(x))^2\ (mod\ x^n)\\
B^2(x)+G^2(x)&\equiv2B(x)G(x)\ (mod\ x^n)\\
\end{aligned}
\]
根据\(B(x)\)的定义我们可以写成：
\[
A(x)+G^2(x)\equiv 2B(x)G(x)\ (mod\ x^n)\\
\]
最后得到：
\[
B(x)\equiv\ \frac{A(x)+G^2(x)}{2G(x)}\ (mod\ x^n)
\]
所以如果说我们知道了\(G(x)\)，我们也就可以得出\(B(x)\)啦，分母可以用多项式求逆搞一下，其他的多项式乘法fft搞一下，问题不大
总的复杂度是：
\[
T(n)=T(\frac{n}{2})+求逆复杂度+O(n\ log \ n)=O(n\ log\ n)
\]
- 实现
namespace NTT中主要需要调用的过程长这个样子
void Ntt_getsqrt(vct &a,vct &invb,int n,int m){
prework(a,invb,n,m);
ntt(A,1);
ntt(B,1);
for (int i=0;i<len;++i)
B[i]=1LL*B[i]*inv2%MOD*A[i]%MOD;
ntt(B,-1);
}开根的话大概长这个样子
vct Sqrt(vct a){
int N=a.size(),M,M1;
if (N==1){
a[0]=1;
return a;
}
vct b=a,invb;
b.resize((N+1)>>1);
b=Sqrt(b);
invb=b; invb.resize(N);//resize!!!
invb=Inv(invb);
NTT::Ntt_getsqrt(a,invb,N,N);
b.resize(NTT::len);
for (int i=0;i<NTT::len;++i) b[i]=(1LL*b[i]*inv2%MOD+NTT::B[i])%MOD;
b.resize(N);
return b;
}
多项式除法
- 问题
给出一个\(n\)次多项式\(A(x)\)，以及一个\(（m（m<=n)\)次多项式\(B(x)\)
要求出\(D(x)\)满足\(A(x)=D(x)B(x)+R(x)\)，且\(D(x)\)的次数\(<=n-m\)，\(R(x)\)的次数\(<m\)
简单来说就是类比整数的除法，\(D(x)\)就是商，\(R(x)\)就是余数，我们现在考虑求商
- 求解
为了方便接下来的表述，先定义一些操作，我们记：
\[
rev(A(x))=x^nA(\frac{1}{n})
\]
也就是系数反转，举个简单的例子：
\[
\begin{aligned}
A(x)&=4x^4+3x^3+2x^2+1\\
rev(A(x))&=x^4+2x^3+3x^2+4
\end{aligned}
\]
那么现在我们把上面那条式子搬下来：
\[
A(x)=D(x)B(x)+R(x)
\]
（接下来的步骤均将\(D(x)\)看成\(n-m\)次多项式，\(R(x)\)看成\(m-1\)次多项式，对于那些不存在的高次项我们就把系数看成\(0\)就好了）
后面的余数看起来十分不友善，所以我们要想个办法把它去掉，于是我们可以进行以下的操作:
我们将上面式子中的所有\(x\)换成\(\frac{1}{x}\)，然后等式两边同时乘上\(x^n\)，得到：
\[
\begin{aligned}
x^nA(\frac{1}{x})&=x^{n-m}D(\frac{1}{x})x^mB(\frac{1}{x})+x^{n-m+1}x^{m-1}R(\frac{1}{x})\\
rev(A(x))&=rev(D(x))rev(B(x))+x^{n-m+1}rev(R(x))\\
\end{aligned}
\]
现在再来看一下各个项的最高次项，首先是我们要求的元素\(D(x)\)，由于这个多项式原来是\(n-m\)次，所以在系数反转之后肯定不会超过\(n-m\)次，而我们要“消掉”的\(R(x)\)原来是\(m-1\)次多项式，所以\(x^{n-m+1}R(x)\)的最低次项应该是大于\(n-m\) 的
那么考虑将上面的式子放到\(mod\ x^{n-m+1}\)下，\(x^{n-m+1}R(x)\)的影响就可以十分愉快滴被消掉啦，同时我们也不会影响到\(D(x)\)的求解，因为\(D(x)\)是\(n-m\)次的（疯狂%miskcoo太强了qwq）
于是我们就得到了这样一个式子：
\[
rev(A(x))\equiv\ rev(D(x))rev(B(x))\ (mod\ x^{n-m+1})
\]
那所以，我们只要求一个\(rev(B(x))\)在\(mod x^{n-m+1}\)意义下的逆元然后跟\(rev(A(x))\)乘一下，得到\(rev(D(x))\)，然后再把系数反转回来就得到\(D(x)\)啦
- 实现
除法大概是长这个样子
vct operator / (vct a,vct b){
int N=a.size()-1,M=b.size()-1;
if (N<M){
d.resize(1);d[0]=0;
return d;
}
reverse(a.begin(),a.end());
reverse(b.begin(),b.end());
b.resize(N-M+1);
d=Inv_p(b)*a;
d.resize(N-M+1);
reverse(d.begin(),d.end());
return d;
}
多项式取模
- 问题
这个。。其实就是求上面那个\(R(x)\)
- 求解
有了多项式除法（也就是求商）之后，求余数就变得比较简单了
类比整数的取模，我们可以得到这样的一个式子：
\[
R(x)=A(x)-D(x)B(x)
\]
那就除法求出\(D(x)\)之后直接减一下就好了，\(D(x)B(x)\)这个多项式乘法也是直接用\(ntt\)求就好了
- 实现
假装非常短的样子 (然而前面的东西都是要写的qwq醒醒)
void mod(vct &a,vct b){
int N=a.size()-1,M=b.size()-1;
if (N<M) return;
t=a/b;
a=a-(t*b);
a.resize(M);
}
大概。。就先写这么多吧ovo