1. 极大似然估计
假设有一枚硬币，我们想确定这枚硬币是否质地均匀。即想知道抛这枚硬币，正反面出现的概率各是多少？于是我们将这枚硬币抛了10次，得到的数据x0是：反正正正正反正正正反。我们想求的正面概率θ是模型参数，而抛硬币模型可以假设服从二项分布。
那么，出现实验结果x0（反正正正正反正正正反）的似然函数是多少呢？
而极大似然估计，顾名思义，就是要最大化这个函数。
我们可以画出f(θ)的图像：
从图像中可以观察到，θ=0.7时，函数取值最大。也就是说，我们通过最大化似然函数后，得到了模型参数的值，相应的，正反面出现的概率也就求出了。
极大似然估计需要保证所有的采样都是独立同分布的。
2. 容易混淆的概念
- 极大似然估计就是最大似然估计。
- 极大似然概率这个名词描述是不准确的，笔者查阅了整个英文互联网，都没有找到 ‘Maximum likelihood probability’这个词。所以，不存在“极大似然概率”这个说法。
3. 最大后验概率
与极大似然估计相比，使用最大后验概率估计θ时，首先认为θ本身存在一个分布，即θ有先验分布。
还是以判断一枚硬币是否质地均匀为例。假设正面概率θ满足均值为0.5，方差为1的先验分布，即：
那么，将这枚硬币抛了10次，得到的数据x0是：反正正正正反正正正反。
因为考虑了先验分布，所以实验结果x0的函数可以表示为：
因此，我们可以通过最大化这个后验概率函数求得θ，我们可以画出f(θ)的图像：
计算得到θ = 0.696。也就是说，采用最大后验概率计算得到硬币正面朝上的概率为0.696。
4. 似然与概率分别指的什么
似然： 英文单词为likelihood，有道翻译的翻译结果为：十有八九。
概率： 如果我有一枚质地均匀的硬币，那么它出现正面朝上的概率是0.5。
似然： 如果我抛一枚硬币100次，正面朝上52次，那么它十有八九是质地均匀的。
再举一个例子加深理解。 假设有人向我挑战一个“有利可图的赌博游戏”。
概率： 帮助我们计算预期的收益和损失(平均值、众数、中值、方差、信息比率、风险值、赌徒破产等等)。
似然： 帮助我们量化是否首先应该相信那些概率。
实际上，似然几乎可以等价于置信度。