C++用Dijkstra(迪杰斯特拉)算法求最短路径

算法介绍

迪杰斯特拉算法是由荷兰计算机科学家狄克斯特拉于1959 年提出的，因此又叫狄克斯特拉算法。是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法，解决的是有向图中最短路径问题。迪杰斯特拉算法主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。

算法思想

按路径长度递增次序产生算法：

　把顶点集合V分成两组：

　　（1）S：已求出的顶点的集合（初始时只含有源点V0）

　　（2）V-S=T：尚未确定的顶点集合
　　将T中顶点按递增的次序加入到S中，保证：

　　（1）从源点V0到S中其他各顶点的长度都不大于从V0到T中任何顶点的最短路径长度

　　（2）每个顶点对应一个距离值

　　S中顶点：从V0到此顶点的长度

　　T中顶点：从V0到此顶点的只包括S中顶点作中间顶点的最短路径长度

　　依据：可以证明V0到T中顶点Vk的，或是从V0到Vk的直接路径的权值；或是从V0经S中顶点到Vk的路径权值之和

应用举例

（1）题目：编写一个校园导游程序，为来访的客人提供各种信息查询服务。

　　　　主要功能：1.设计学校的校园平面图，所含景点不少于10个：顶点表示景点，边表示路径等；

　　　　　　　　　2.为客人提供图中任意景点相关信息的查询；

　　　　　　　　　3.为客人提供图中任意景点的问路查询，即查询人以景点间的一条最短路径。

　　　　　　要求：1.设计一个主界面；

　　　　　　        2.设计功能菜单，供用户选择

　　　　　　        3.有一定的实用性。

（2）设计思路：

　　1、该题主要有算法思路以及程序的逻辑思路，首先从逻辑思路讲，进入程序，首先设计一个主菜单，选项有景点信息查询，最短路径查询以及显示景点的平面视图三个子菜单，然后根据用户的输入选择的子菜单前的编号，分进入不同的子菜单；该功能是由if….else if…. 语句实现。在景点信息查询和最短路径查询子菜单下还有二级子菜　单，都是列 出所有景点并在前面编号，查询景点信息时，输入景点前面的编号即可，查询最短路径时，先输入起点的编号，再输入终点的编号。而显示景点视图则调用景点平面图函数即可显 示。

　　2、算法思路主要是迪杰斯特拉算法的思路，利用迪杰斯特拉算法求最短路径。

　　3、先定义好图的储存结构，本题采用邻接矩阵的方式来表示图，并在主函数中初始化该图；

　　4、定义三个全局一维数组，一个bool类型数组S[]用来记录从v0到vi是否已经确定了最短路径，是则记S[i]=true ,否记S[i]= flase；一个int 类型数组Path[]用来记录从v0到vi的当前最短路径上的vi的直接前驱顶点编号，若v 到vi之间有边则记Path[i] = v的编号，否则记Path[i] = -1；最后一个数组D[]用来记录从v0到vi之间的最短路径长度，存在则记v0到vi之间边的权值或者权值和，否则记为MAX

　　5、定义一个求最短路径的函数，传入的参数为图和起点，首先进行初始化工作，初始化S[]数组全为false，D[]数组初始化为起点到各个顶点的权值，Path[]数组初始化为起点是否与各顶点有边，有则记v0否则记-1；

　　6、然后进行n-1次for循环，找出vo到其余n-1个顶点之间的最短路径，比较当前D[]数组中最小值，找到最小值的编号v，该编号就是从v0出发到所有顶点中距离最短的顶点编号，然后把S[v]的值置为true。说明从v0出发到顶点v已经找到最短路径；

　　7、接着就要更新D[]数组，因为D[]数组是记录最短路径的，现在已经找到了一个顶点的最短路径，已该顶点v为中间点，判断从该顶点v出发到剩下的顶点的路径长度加上该点到v0的路径长度是否小于直接从v0出发到其余顶点的路径长度，如果小于，则更新D[i]为以该顶点v为中间点求得的路径长度。更新Path[i] = v；即i的前驱不再是v0而是v;

　　8、循环（6）（7）两步n-1次即可得到D[]数组，输出D[]数组既是v0到所有顶点的最短路径长度；

（3）源代码：

#include<iostream>
#include<fstream>
#include<string>
using namespace std;
/**
 *作者：Dmego
 *时间：2016-12-12
 */
#define MAX 1000000 //表示极大值∞
#define max 10
bool S[max]; //记录从源点V0到终点Vi是否已经确定为最短路径，确定了记true，否则记false
int Path[max]; //记录从源点V0到终点Vi的当前最短路径上终点Vi的直接前驱顶点序号，若V0到Vi之间有边前驱为V0否则为-1
int D[max]; //记录源点到终点之间最短路径的长度，存在记V0到Vi的边的权值，否则记为MAX
typedef struct
{
 string vexs[max]; //顶点表
 int arcs[max][max]; //邻接矩阵
 int vexnum, arcnum; //图当前点数和边数

}AMGraph;
//利用迪杰斯特拉算法求最短路径
void ShortestPath_DIJ(AMGraph &G, int v0)
{//使用迪杰斯特拉算法求有向网G中的V0 定点到其余顶点的最短路径
 int n = G.vexnum;//顶点数
 for (int v = 0; v < n; v++)//n个顶点依次初始化
 {
 S[v] = false;//S初始化为空集
 D[v] = G.arcs[v0][v];//将v0到各个终点的最短路径长度初始化为边上的权值
 if (D[v] < MAX)
  Path[v] = v0;//如果v0和v之间有边，则将v的前驱初始化为v0
 else
  Path[v] = -1;//如果v0和v之间无边，则将v的前驱初始化为-1
 }
 S[v0] = true; //将v0加入s
 D[v0] = 0;//源点到源点的权值为0
 //---------初始化结束，开始主循环，每次求得v0到某个顶点的最短路径，将v加到S数组
 for (int i = 1; i < n; i++)//依次对其余n-1个顶点进行计算
 {
 int min = MAX;
 int v = v0;
 for (int w = 0; w < n; w++)
 {
  if (!S[w] && D[w] < min)
  {//选择一条当前最短路径，终点为v
  v = w;
  min = D[w];
  }
  S[v] = true;//将v加到s集合中
  for (int w = 0; w < n; w++)
  {//更新从v0出发到集合V-S上所有顶点的最短路径长度
  if (!S[w] && (D[v] + G.arcs[v][w] < D[w]))
  {
   D[w] = D[v] + G.arcs[v][w];//更新D[w]
   Path[w] = v;//更改w的前驱为v
  }
  }
 }
 }
}
//背景函数
void backGround()
{
 cout << "|*****************************************************************|" << endl;
 cout << " |------------------------铁大旅游景点图-----------------|" << endl;
 cout << "|*****************************************************************|" << endl;
 cout << "|  ⑦      单位：米 |" << endl;
 cout << "|  九教       |" << endl;
 cout << "|  ◎     ⑧  |" << endl;
 cout << "|  ↗↖     九栋  |" << endl;
 cout << "| ③ 200╱ ╲     ◎  |" << endl;
 cout << "| 西 ↙ ╲ 150    ↗ ↖  |" << endl;
 cout << "| 操 ◎  ╲ ①  160 ╱ ╲ 200 |" << endl;
 cout << "| 场 ↖150  ╲ 信息  ⑥ ╱  ╲ |" << endl;
 cout << "| ④ ↘ 140 ↘ 学院 200 基教 ↙ 230 ↘ |" << endl;
 cout << "| 体育馆 ◎-------------→◎←--------------→◎←--------------→◎ |" << endl;
 cout << "|  ↖  ↗ ↖  ↗ ↖  ↗② |" << endl;
 cout << "|  100 ╲ ╱ ╲ 125 ╱ ╲ 150 ╱ 综 |" << endl;
 cout << "|  ↘ ↙ 100 ╲ ╱135 ╲ ╱145 餐 |" << endl;
 cout << "|   ◎  ↘ ↙  ↘ ↙ |" << endl;
 cout << "|  ⑨ 沁园  ◎   ◎  |" << endl;
 cout << "|    ⑩ 翠园  ⑤ 春晖楼  |" << endl;
 cout << "|        |" << endl;
 cout << "|*****************************************************************|" << endl;

}
//主菜单
void menu()
{
 cout << "|*****************************************************************|" << endl;
 cout << "|----------------------------铁大导游小程序-----------------------|" << endl;
 cout << " |*********************************************************|" << endl;
 cout << " |--------------------1-景点信息查询--------------|" << endl;
 cout << " |--------------------2-最短路径查询--------------|" << endl;
 cout << " |--------------------3-显示景点视图--------------|" << endl;
 cout << " |-------------------4-退出导游程序------ --------|" << endl;
 cout << "|*****************************************************************|" << endl;
 cout << ">>>请选择：";
}
//景点信息查询二级菜单
void jmenu()
{
 cout << "|*****************************************************************|" << endl;
 cout << " |-------------------------景点信息查询------------------------|" << endl;
 cout << " |***********************************************************|" << endl;
 cout << " |----------------------1-信息学院介绍-------------------| " << endl;
 cout << " |----------------------2-综合餐厅介绍-------------------| " << endl;
 cout << " |----------------------3-西操场介绍---------------------| " << endl;
 cout << " |----------------------4-体育馆介绍---------------------| " << endl;
 cout << " |----------------------5-春晖楼介绍---------------------| " << endl;
 cout << " |----------------------6-基教介绍-----------------------| " << endl;
 cout << " |----------------------7-九教介绍-----------------------| " << endl;
 cout << " |----------------------8-九栋介绍-----------------------| " << endl;
 cout << " |----------------------9-沁园介绍-----------------------| " << endl;
 cout << " |---------------------10-翠园介绍-----------------------| " << endl;
 cout << "|*****************************************************************|" << endl;
 cout << ">>>请要查询的景点编号：";
}
//最短路径查询二级菜单
void pmenu()
{
 cout << "|*****************************************************************|" << endl;
 cout << " |-------------------------最短路径查询------------------------|" << endl;
 cout << " |***********************************************************|" << endl;
 cout << " |---------------------1-信息学院-------------------| " << endl;
 cout << " | --------------------2-综合餐厅-------------------| " << endl;
 cout << " |---------------------3-西操场---------------------| " << endl;
 cout << " |---------------------4-体育馆---------------------| " << endl;
 cout << " |---------------------5-春晖楼---------------------| " << endl;
 cout << " |---------------------6-基教-----------------------| " << endl;
 cout << " |---------------------7-九教-----------------------| " << endl;
 cout << " |---------------------8-九栋-----------------------| " << endl;
 cout << " |---------------------9-沁园-----------------------| " << endl;
 cout << " |--------------------10-翠园-----------------------| " << endl;
 cout << "|*****************************************************************|" << endl;
 cout << ">>>请依次输入起点编号和终点编号：";
}
void main()
{
 //初始化操作
 AMGraph amg = { { "信息学院","综合餐厅","西操场","体育馆","春晖楼",
   "基教", "九教", "九栋", "沁园", "翠园" },
 //-1代表两边不相连，权值无限大
 //邻接矩阵 /* 信 综 西 体 春 基 教 栋 沁 翠*/
   {{MAX,MAX,MAX,140,MAX,200,150,MAX,100,125 },
   {MAX,MAX,MAX,MAX,145,230,MAX,100,MAX,MAX },
   {MAX,MAX,MAX,150,MAX,MAX,200,MAX,MAX,MAX },
   {140,MAX,150,MAX,MAX,MAX,MAX,MAX,100,MAX },
   {MAX,145,MAX,MAX,MAX,150,MAX,MAX,MAX,MAX },
   {200,230,MAX,MAX,150,MAX,MAX,160,MAX,135 },
   {150,MAX,200,MAX,MAX,MAX,MAX,MAX,MAX,MAX },
   {MAX,200,MAX,MAX,MAX,160,MAX,MAX,MAX,MAX },
   {100,MAX,MAX,100,MAX,MAX,MAX,MAX,MAX,MAX },
   {125,MAX,MAX,MAX,MAX,135,MAX,MAX,MAX,MAX }
   },10,14};
 int f, ff;
 int start, end;
 while (true)
 {
 cout << endl;
 menu();
 cin >> f;
 if (f == 1)
 {
  jmenu();
  cin >> ff;
　　　　　　　//景点信息从文件中读取
  ifstream outfile("schooltravel.txt", ios :: out | ios :: binary);
  if (!outfile)
  {
  cerr << "读取景点介绍文件失败！" << endl;
  abort();
  }
  string str[max];
  int i = 0;
  while (getline(outfile, str[i++]));
  cout << "|-----------------------景点介绍-------------------| " << endl;
  if (ff == 1)
  cout << str[0] << endl;
  else if (ff == 2)
  cout << str[1] << endl;
  else if (ff == 3)
  cout << str[2] << endl;
  else if(ff == 4)
  cout << str[3] << endl;
  else if (ff == 5)
  cout << str[4] << endl;
  else if (ff == 6)
  cout << str[5] << endl;
  else if (ff == 7)
  cout << str[6] << endl;
  else if (ff == 8)
  cout << str[7] << endl;
  else if (ff == 9)
  cout << str[8] << endl;
  else if (ff == 10)
  cout << str[9] << endl;
  cout << "|-------------------------------------------------|" << endl;
 }
 else if (f == 2)
 {
  pmenu();
  cin >> start >> end;
  ShortestPath_DIJ(amg, start - 1);
  int temp = end-1;
  int temp1, temp2;
  int flag[max], m = 0;
  cout << "从" << amg.vexs[start - 1] << "到" << amg.vexs[end - 1] << "最短路径为：" ;
  while (temp!= -1)
  {
  flag[m++] = temp;
  temp1 = temp ;
  temp2 = Path[temp1];
  temp = temp2;
  }
  for (int i = m-1; i >= 0; i--)
  {
  cout <<amg.vexs[flag[i]] << "->";
  }
  cout << endl;
  cout << "最短路径值为：" << D[end - 1] <<"米"<< endl;
 }
 else if (f == 3)
 {
  backGround();
 }
 else if (f == 4)
 {
  cout << ">>>退出成功！" << endl;
  exit(0);
 }
 }
}

（4）运行截图：

总结

以上就是关于C++用Dijkstra算法(迪杰斯特拉算法)求最短路径的全部内容了，希望本文的内容对大家的学习或者工作带来一定的帮助，如果有疑问大家可以留言交流。