单源最短路径问题，即在图中求出给定顶点到其它任一顶点的最短路径。在弄清楚如何求算单源最短路径问题之前，必须弄清楚最短路径的最优子结构性质。
一、最短路径的最优子结构性质
该性质描述为：如果p(i,j)={vi....vk..vs...vj}是从顶点i到j的最短路径，k和s是这条路径上的中间顶点，那么p(k,s)必定是从k到s的最短路径。下面证明该性质的正确性。
假设p(i,j)={vi....vk..vs...vj}是从顶点i到j的最短路径，则有p(i,j)=p(i,k)+p(k,s)+p(s,j)。而p(k,s)不是从k到s的最短距离，那么必定存在另一条从k到s的最短路径p'(k,s)，那么p'(i,j)=p(i,k)+p'(k,s)+p(s,j)<p(i,j)。则与p(i,j)是从i到j的最短路径相矛盾。因此该性质得证。
二、dijkstra算法
dijkstra提出按各顶点与源点v间的路径长度的递增次序，生成到各顶点的最短路径的算法。既先求出长度最短的一条最短路径，再参照它求出长度次短的一条最短路径，依次类推，直到从源点v 到其它各顶点的最短路径全部求出为止。
对于下图：
运行结果：
从0出发到0的最短路径为：0-->0
从0出发到1的最短路径为：0-->1
从0出发到2的最短路径为：0-->3-->2
从0出发到3的最短路径为：0-->3
从0出发到4的最短路径为：0-->3-->2-->4
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从0出 发到0的最短距离为：0
从0出 发到1的最短距离为：10
从0出 发到2的最短距离为：50
从0出 发到3的最短距离为：30
从0出 发到4的最短距离为：60
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public class dijkstra {
static int m=10000;//(此路不通)
public static void main(string[] args) {
// todo auto-generated method stub
int[][] weight1 = {//邻接矩阵
{0,3,2000,7,m},
{3,0,4,2,m},
{m,4,0,5,4},
{7,2,5,0,6},
{m,m,4,6,0}
};
int[][] weight2 = {
{0,10,m,30,100},
{m,0,50,m,m},
{m,m,0,m,10},
{m,m,20,0,60},
{m,m,m,m,0}
};
int start=0;
int[] shortpath = dijsktra(weight2,start);
for(int i = 0;i < shortpath.length;i++)
system.out.println("从"+start+"出发到"+i+"的最短距离为："+shortpath[i]);
}
public static int[] dijsktra(int[][] weight,int start){
//接受一个有向图的权重矩阵，和一个起点编号start（从0编号，顶点存在数组中）
//返回一个int[] 数组，表示从start到它的最短路径长度
int n = weight.length; //顶点个数
int[] shortpath = new int[n]; //存放从start到其他各点的最短路径
string[] path=new string[n]; //存放从start到其他各点的最短路径的字符串表示
for(int i=0;i<n;i++)
path[i]=new string(start+"-->"+i);
int[] visited = new int[n]; //标记当前该顶点的最短路径是否已经求出,1表示已求出
//初始化，第一个顶点求出
shortpath[start] = 0;
visited[start] = 1;
for(int count = 1;count <= n - 1;count++) //要加入n-1个顶点
{
int k = -1; //选出一个距离初始顶点start最近的未标记顶点
int dmin = integer.max_value;
for(int i = 0;i < n;i++)
{
if(visited[i] == 0 && weight[start][i] < dmin)
{
dmin = weight[start][i];
k = i;
}
}
system.out.println("k="+k);
//将新选出的顶点标记为已求出最短路径，且到start的最短路径就是dmin
shortpath[k] = dmin;
visited[k] = 1;
//以k为中间点，修正从start到未访问各点的距离
for(int i = 0;i < n;i++)
{ // system.out.println("k="+k);
if(visited[i] == 0 && weight[start][k] + weight[k][i] < weight[start][i]){
weight[start][i] = weight[start][k] + weight[k][i];
path[i]=path[k]+"-->"+i;
}
}
}
for(int i=0;i<n;i++)
system.out.println("从"+start+"出发到"+i+"的最短路径为："+path[i]);
system.out.println("=====================================");
return shortpath;
}
}
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