Mobius 反演

上次看莫比乌斯繁衍反演是一个月前，讲道理没怎么看懂..

然后出去跪了二十天， 然后今天又开始看发现其实并不难理解

开个这个仅记录一下写过的题。

HAOI 2011 B

这应该是莫比乌斯反演的模板题，有很多题解，不多说。

CODE：

//HAOI 2011 B
//by Cydiater
//2016.7.25
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
#include <cmath>
#include <iomanip>
#include <string>
#include <queue>
#include <map>
using namespace std;
#define ll long long
#define up(i,j,n)       for(int i=j;i<=n;i++)
#define down(i,j,n)     for(int i=j;i>=n;i--)
#define FILE "b"
;
const int oo=0x3f3f3f3f;
inline int read(){
      ,f=;
      ;ch=getchar();}
      +ch-';ch=getchar();}
      return x*f;
}
,T,a,b,c,d,sum[MAXN],k;
bool vis[MAXN];
namespace solution{
      void make_mu(){
            mu[]=;
            memset(vis,,sizeof(vis));
            up(i,,){
                  ;}
                  ;prime[j]*i<=&&j<=cnt;j++){
                        vis[prime[j]*i]=;
                        )mu[i*prime[j]]=-mu[i];
                        else{
                              mu[i*prime[j]]=;
                              break;
                        }
                  }
            }
            up(i,,)sum[i]=sum[i-]+mu[i];
      }
      int get(int n,int m){
            if(n>m)swap(n,m);
            ;
            ;i<=n;i=pos+){
                  pos=min(n/(n/i),m/(m/i));
                  ans+=(sum[pos]-sum[i-])*(n/i)*(m/i);
            }
            return ans;
      }
}
int main(){
      //freopen("input.in","r",stdin);
      freopen(FILE".in","r",stdin);
      freopen(FILE".out","w",stdout);
      T=read();
      using namespace solution;
      memset(sum,,sizeof(sum));
      make_mu();
      while(T--){
            a=read();b=read();c=read();d=read();k=read();
            a--;c--;
            a/=k;b/=k;c/=k;d/=k;
            printf("%d\n",get(b,d)-get(a,d)-get(b,c)+get(a,c));
      }
      ;
}

BZOJ 1101

上一道题的弱化版..

//BZOJ 1101
//by Cydiater
//2016.7.25
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <ctime>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <queue>
#include <map>
#include <iomanip>
using namespace std;
#define ll long long
#define up(i,j,n)       for(int i=j;i<=n;i++)
#define down(i,j,n)     for(int i=j;i>=n;i--)
;
const int oo=0x3f3f3f3f;
inline int read(){
      ,f=;
      ;ch=getchar();}
      +ch-';ch=getchar();}
      return x*f;
}
,sum[MAXN],T;
bool vis[MAXN];
namespace solution{
      void make_mu(){
            memset(mu,,sizeof(mu));
            memset(sum,,sizeof(sum));
            mu[]=;
            up(i,,){
                  ;}
                  ;j<=cnt&&i*prime[j]<=;j++){
                        vis[i*prime[j]]=;
                        )mu[i*prime[j]]=-mu[i];
                        else{
                              mu[i*prime[j]]=;
                              break;
                        }
                  }
            }
            up(i,,)sum[i]=sum[i-]+mu[i];
      }
      int get(int n,int m){
            ;
            if(n>m)swap(n,m);
            ;i<=n;i=pos+){
                  pos=min(m/(m/i),n/(n/i));
                  ans+=(sum[pos]-sum[i-])*(m/i)*(n/i);
            }
            return ans;
      }
}
int main(){
      //freopen("input.in","r",stdin);
      using namespace solution;
      make_mu();
      T=read();
      while(T--){
            int a=read(),b=read(),k=read();
            a/=k;b/=k;
            printf("%d\n",get(a,b));
      }
      ;
}

Vijos 1889

题意就是让你求出第N个mu[i]!=0的数。

然后我们知道小于 i的莫比乌斯函数值不为0的数有Σmu[i]*(x/i^2)个（我从黄学长博客上看到的QAQ）

然后我们就可以愉快的二分了

PS注意枚举i时要设为ll

//Vijos 1889
//by Cydiater
//2016.7.25
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <ctime>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <map>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
#define up(i,j,n)       for(int i=j;i<=n;i++)
#define down(i,j,n)     for(int i=j;i>=n;i--)
+;
const int oo=0x3f3f3f3f;
inline ll read(){
      ,f=;
      ;ch=getchar();}
      +ch-';ch=getchar();}
      return x*f;
}
ll N,prime[MAXN],cnt=,mu[MAXN],leftt,rightt,mid;
bool vis[MAXN];
namespace solution{
      void make_mu(){
            memset(vis,,sizeof(vis));
            memset(mu,,sizeof(mu));
            up(i,,){
                  ;}
                  ;prime[j]*i<=&&j<=cnt;j++){
                        vis[prime[j]*i]=;
                        )mu[i*prime[j]]=-mu[i];
                        else{
                              mu[i*prime[j]]=;
                              break;
                        }
                  }
            }
      }
      void init(){
            N=read();
      }
      bool check(ll num){
            ll lim=1LL*sqrt(;
            ;i<=lim;i++)
            ans+=num/(i*i)*mu[i];
            return ans>=N;
      }
      void slove(){
            leftt=N;rightt=25505460948LL;
            <rightt){
                  mid=(leftt+rightt)>>;
                  if(check(mid))    rightt=mid;
                  else              leftt=mid;
            }
            if(check(leftt))cout<<leftt<<endl;
            else            cout<<rightt<<endl;
      }
}
int main(){
      //freopen("input.in","r",stdin);
      //freopen("out.out","w",stdout);
      using namespace solution;
      make_mu();
      init();
      slove();
      ;
}

BZOJ 2440

上面那道题做一下小修改就好了

//bzoj2440
//by Cydiater
//2016.7.25
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <ctime>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <map>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
#define up(i,j,n)       for(int i=j;i<=n;i++)
#define down(i,j,n)     for(int i=j;i>=n;i--)
+;
const int oo=0x3f3f3f3f;
inline ll read(){
      ,f=;
      ;ch=getchar();}
      +ch-';ch=getchar();}
      return x*f;
}
ll N,prime[MAXN],cnt=,mu[MAXN],leftt,rightt,mid,T;
bool vis[MAXN];
namespace solution{
      void make_mu(){
            memset(vis,,sizeof(vis));
            memset(mu,,sizeof(mu));
            up(i,,){
                  ;}
                  ;prime[j]*i<=&&j<=cnt;j++){
                        vis[prime[j]*i]=;
                        )mu[i*prime[j]]=-mu[i];
                        else{
                              mu[i*prime[j]]=;
                              break;
                        }
                  }
            }
      }
      void init(){
            N=read();
      }
      bool check(ll num){
            ll lim=1LL*sqrt(;
            ;i<=lim;i++)
            ans+=num/(i*i)*mu[i];
            return num-ans>=N;
      }
      void slove(){
            leftt=N;rightt=25505460948LL;
            <rightt){
                  mid=(leftt+rightt)>>;
                  if(check(mid))    rightt=mid;
                  else              leftt=mid;
            }
            if(check(leftt))cout<<leftt<<endl;
            else            cout<<rightt<<endl;
      }
}
int main(){
      //freopen("input.in","r",stdin);
      //freopen("out.out","w",stdout);
      using namespace solution;
      make_mu();
      T=read();
      while(T--){
            init();
            slove();
      }
      ;
}

YY的GCD

要克服公式恐惧症啊= =

和B那道题很像，但是与那道题不同的是这道题要求求出所有的素数。

设f(p)为在x在1-n中，y在1-m中满足gcd(x,y)==p的个数

所以我们就可以推出这样一个式子：

然后我们就有了暴力求出这个题答案的方法了。

但是显然会超时，考虑优化

这样的话如果我们能预处理出，就能很快的求出答案了。显然暴力的方法能预处理出来。

//YY de GCD
//by Cydiater
//2016.7.26
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <map>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <iomanip>
#include <ctime>
using namespace std;
#define ll long long
#define up(i,j,n)       for(int i=j;i<=n;i++)
#define down(i,j,n)     for(int i=j;i>=n;i--)
#define FILE "YYnoGCD"
const int oo=0x3f3f3f3f;
;
inline ll read(){
      ,f=;
      ;ch=getchar();}
      +ch-';ch=getchar();}
      return x*f;
}
,f[MAXN],T,mu[MAXN];
bool vis[MAXN];
namespace solution{
      void make_mu(){
            memset(vis,,sizeof(vis));
            memset(f,,sizeof(f));
            mu[]=;
            up(i,,){
                  ;}
                  up(j,,cnt){
                        )break;
                        vis[prime[j]*i]=;
                        )mu[i*prime[j]]=-mu[i];
                        else{
                              mu[i*prime[j]]=;
                              break;
                        }
                  }
            }
            up(i,,cnt)up(j,,){
                  )break;
                  f[prime[i]*j]+=mu[j];
            }
            up(i,,)f[i]+=f[i-];
      }
      void slove(ll a,ll b){
            ll ans=,pos;
            if(a>b)swap(a,b);
            up(i,,a){
                  pos=min(a/(a/i),b/(b/i));
                  ans+=(f[pos]-f[i-])*(a/i)*(b/i);
                  i=pos;
            }
            cout<<ans<<endl;
      }
}
int main(){
      //freopen("input.in","r",stdin);
      freopen(FILE".in","r",stdin);
      freopen(FILE".out","w",stdout);
      using namespace solution;
      make_mu();
      T=read();
      while(T--){
            ll a=read(),b=read();
            slove(a,b);
      }
      ;
}

BZOJ 4407于神之怒

这些题为什么越来越难了QAQ

给下N,M,K.求

下面给出公式的推导：

//BZOJ 4407
//by Cydiater
//2016.7.27
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <queue>
#include <map>
#include <iomanip>
#include <cmath>
#include <ctime>
using namespace std;
#define ll long long
#define up(i,j,n)       for(int i=j;i<=n;i++)
#define down(i,j,n)     for(int i=j;i>=n;i--)
;
const int LIM=5e6;
const int oo=0x3f3f3f3f;
;
inline int read(){
      ,f=;
      ;ch=getchar();}
      +ch-';ch=getchar();}
      return x*f;
}
ll f[MAXN],prime[MAXN],cnt=,N,K,g[MAXN],T;
bool vis[MAXN];
namespace solution{
      inline ll quick_pow(ll a,ll b){
            ll tmp=;
            while(b){
                  )tmp=(tmp*a)%mod;
                  a=(a*a)%mod;
                  b>>=;
            }
            return tmp;
      }
      void pret(){
            memset(vis,,sizeof(vis));
            f[]=;
            up(i,,LIM){
                  ;}
                  up(j,,cnt){
                        if(i*prime[j]>LIM)break;
                        vis[i*prime[j]]=;
                        ){
                              f[i*prime[j]]=(f[i]*f[prime[j]])%mod;
                        }else{
                              f[i*prime[j]]=(f[i]*g[j])%mod;
                              break;
                        }
                  }
            }
            up(i,,LIM)f[i]=(f[i-]+f[i])%mod;
      }
      void slove(ll a,ll b){
            ll ans=,pos;
            if(a>b)swap(a,b);
            up(i,,a){
                  pos=min(a/(a/i),b/(b/i));
                  ans+=(((f[pos]+mod-f[i-])*(a/i))%mod)*(b/i);
                  ans%=mod;
                  i=pos;
            }
            printf("%lld\n",ans);
      }
}
int main(){
      freopen("input.in","r",stdin);
      using namespace solution;
      T=read();K=read();
      pret();
      while(T--)slove(read(),read());
      ;
}

BZOJ 2154

数论好坑啊

做这道题是为了做下一道题，这道题是下一道题的弱化版..但是我调试了几乎一个上午。

给定N,M求N,M内的lcm累加和。

下面是公式时间：

 然后双重分块就好了

这个调试的真恶心...

//BZOJ 2154
//by Cydiater
//2016.7.27
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <cstring>
#include <iomanip>
#include <queue>
#include <map>
#include <ctime>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
using namespace std;
#define ll long long
#define up(i,j,n)       for(ll i=j;i<=n;i++)
#define down(i,j,n)     for(ll i=j;i>=n;i--)
;
const ll LIM=1e7;
;
const ll oo=0x3f3f3f3f;
inline ll read(){
      ,f=;
      ;ch=getchar();}
      +ch-';ch=getchar();}
      return x*f;
}
ll prime[MAXN],cnt=,mu[MAXN],N,M;
bool vis[MAXN];
namespace solution{
      void pret(){
            memset(vis,,sizeof(vis));
            memset(mu,,sizeof(mu));
            mu[]=;
            up(i,,N){
                  ;}
                  up(j,,cnt){
                        if(prime[j]*i>N)break;
                        vis[prime[j]*i]=;
                        ){
                              mu[i*prime[j]]=-mu[i];
                        }else{
                              mu[i*prime[j]]=;
                              break;
                        }
                  }
            }
            up(i,,N)mu[i]=(mu[i-]+(mu[i]*i*i)%mod)%mod;
      }
      ll sum(ll a,ll b){
            )*a/%mod)*(b*(b+)/%mod)%mod;
      }
      ll F(ll a,ll b){
            ll pos,ans=;
            if(a>b)swap(a,b);
            up(i,,a){
                  pos=min(a/(a/i),b/(b/i));
                  ans=(ans+(mu[pos]-mu[i-])*sum(a/i,b/i))%mod;
                  i=pos;
            }
            return ans;
      }
      void slove(ll a,ll b){
            if(a>b)swap(a,b);
            ll pos,ans=;
            up(i,,a){
                  pos=min(a/(a/i),b/(b/i));
                  ans=(ans+(i+pos)*(pos-i+)/%mod*F(a/i,b/i)%mod)%mod;
                  i=pos;
            }
            printf("%lld\n",(ans+mod)%mod);
      }
}
int main(){
      freopen("input.in","r",stdin);
      using namespace solution;
      N=read();M=read();
      if(N>M)swap(N,M);
      pret();
      slove(N,M);
      //cout<<"Time has passed:"<<1.0*clock()/1000<<"s!"<<endl;
      ;
}

BZOJ 2693:

这些数论题套路很多啊..

接着上一个公式：

//BZOJ 2693
//by Cydiater
//2016.7.29
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <queue>
#include <map>
#include <cstdlib>
#include <iomanip>
using namespace std;
#define ll long long
#define up(i,j,n)       for(ll i=j;i<=n;i++)
#define down(i,j,n)     for(ll i=j;i>=n;i--)
;
const int LIM=1e7;
;
const int oo=0x3f3f3f3f;
inline ll read(){
      ,f=;
      ;ch=getchar();}
      +ch-';ch=getchar();}
      return x*f;
}
ll f[MAXN],prime[MAXN],cnt=,T;
bool vis[MAXN];
namespace solution{
      void pret(){
            memset(vis,,sizeof(vis));
            f[]=;
            up(i,,LIM){
                  if(!vis[i]){prime[++cnt]=i;f[i]=(i-i*i%mod)%mod;}
                  up(j,,cnt){
                        if(prime[j]*i>LIM)break;
                        vis[prime[j]*i]=;
                        ){
                              f[i*prime[j]]=(f[i]*prime[j])%mod;
                              break;
                        }
                        f[i*prime[j]]=(f[prime[j]]*f[i])%mod;
                  }
            }
            up(i,,LIM)f[i]=(f[i]+f[i-])%mod;
      }
      ll sum(ll a,ll b){
            ll tmp1=(a*(a+)/)%mod;
            ll tmp2=(b*(b+)/)%mod;
            return (tmp1*tmp2)%mod;
      }
      void slove(ll a,ll b){
            if(a>b)swap(a,b);
            ll pos,ans=;
            up(i,,a){
                  pos=min(a/(a/i),b/(b/i));
                  ans=(ans+(f[pos]-f[i-])*sum(a/i,b/i)%mod)%mod;
                  i=pos;
            }
            printf("%lld\n",(ans+mod)%mod);
      }
}
int main(){
      //freopen("input.in","r",stdin);
      using namespace solution;
      T=read();
      pret();
      while(T--)slove(read(),read());
      ;
}