【BZOJ-2440】完全平方数 容斥原理 + 线性筛莫比乌斯反演函数 + 二分判定

时间：2023-01-15 07:54:46

2440: [中山市选2011]完全平方数

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Description

小 X 自幼就很喜欢数。但奇怪的是，他十分讨厌完全平方数。他觉得这些数看起来很令人难受。由此，他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数。然而
这丝毫不影响他对其他数的热爱。 这天是小X的生日，小 W 想送一个数给他作为生日礼物。当然他不能送一个小X讨厌的数。他列出了所有小X不讨厌的数，然后选取了第 K个数送给了小X。小X很开心地收下了。 然而现在小 W 却记不起送给小X的是哪个数了。你能帮他一下吗？

Input

包含多组测试数据。文件第一行有一个整数 T，表示测试
数据的组数。 
第2 至第T+1 行每行有一个整数Ki，描述一组数据，含义如题目中所描述。

Output

含T 行，分别对每组数据作出回答。第 i 行输出相应的
第Ki 个不是完全平方数的正整数倍的数。

Sample Input

4
1
13
100
1234567

Sample Output

1
19
163
2030745

HINT

对于 100%的数据有 1 ≤ Ki ≤ 10^9， T ≤ 50

Source

Solution

首先想到容斥，但是询问需要涉及x之前有多少满足的数，显然不能枚举，不过可以二分

二分x，那么涉及求满足条件的数的个数，考虑利用莫比乌斯反演函数的性质，计算质数的平方的倍数（有重复所以利用莫比乌斯函数）

判定一下左右段卡卡就出来了

根据容斥原理可知 对于sqrt(x)以内所有的质数 有
•  x以内的无平方因子数
•=0个质数乘积的平方的倍数的数的数量(1的倍数)
•-每个质数的平方的倍数的数的数量(9的倍数,25的倍数,...)
•+每2个质数乘积的平方的倍数的数的数量(36的倍数,100的倍数,...)-...

坑点：

check中计算的时候会爆int，注意开longlong（一开始真的没注意到）

注意二分的范围（这道题完全可以1~2*K）

Code

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<algorithm>

#include<cmath>

#include<cstring>

using namespace std;

int read()

{

    int x=,f=; char ch=getchar();

    while (ch<'' || ch>'') {if (ch=='-') f=-; ch=getchar();}

    while (ch>='' && ch<='') {x=x*+ch-''; ch=getchar();}

    return x*f;

}

int T,K;

int prime[],tot,mu[];bool flag[];

void Prework(int x)

{

    flag[]=; mu[]=;

    for (int i=; i<=x; i++)

        {

            if (!flag[i]) prime[++tot]=i,mu[i]=-;

            for (int j=; j<=tot&&i*prime[j]<=x; j++)

                {

                    flag[i*prime[j]]=;

                    if (!(i%prime[j])) {mu[i*prime[j]]=; break;}

                        else mu[i*prime[j]]=-mu[i];

                }

        }

}

long long check(long long x)

{

    long long re=; int t=sqrt(x);

    for (int i=; i<=t; i++) re+=mu[i]*x/(i*i);

    return re;

}

int main()

{

    T=read(); Prework();

    while (T--)

        {

            K=read();

            long long l=,r=*K;

            while (l<=r)

                {

                    int mid=(l+r)>>;

                    if (check(mid)<K) l=mid+;

                        else r=mid-;

                }

            printf("%lld\n",l);

        }

    return ;

}

垃圾DaD3zZ,忘开longlong,TLE成狗

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