bzoj1597[Usaco2008 Mar]土地购买 斜率优化dp

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1597: [Usaco2008 Mar]土地购买

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Description

农夫John准备扩大他的农场,他正在考虑N (1 <= N <= 50,000) 块长方形的土地. 每块土地的长宽满足(1 <= 宽 <
= 1,000,000; 1 <= 长 <= 1,000,000). 每块土地的价格是它的面积,但FJ可以同时购买多快土地. 这些土地的价
格是它们最大的长乘以它们最大的宽, 但是土地的长宽不能交换. 如果FJ买一块3x5的地和一块5x3的地,则他需要
付5x5=25. FJ希望买下所有的土地,但是他发现分组来买这些土地可以节省经费. 他需要你帮助他找到最小的经费.

Input

* 第1行: 一个数: N
* 第2..N+1行: 第i+1行包含两个数,分别为第i块土地的长和宽

Output

* 第一行: 最小的可行费用.

Sample Input

4
100 1
15 15
20 5
1 100
输入解释:
共有4块土地.

Sample Output

500
FJ分3组买这些土地:
第一组:100x1,
第二组1x100,
第三组20x5 和 15x15 plot.
每组的价格分别为100,100,300, 总共500.

HINT

Source

Gold

按长从小到大sort 去掉包含关系
那么就可以得到长递增宽递减的长方形序列
b为宽 a为长
dp[i]=dp[j]+(a[i]*b[j+1])

决策单调性很显然 简单的证明一下
设k<j && j的决策比k优
dp[j]+a[i]*b[j+1]<=dp[k]+a[i]*b[k+1]

对于任意t>i a[t]>a[i] 设a[t]=a[i]+v
若要证明决策单调 需证明dp[j]+a[t]*b[j+1]<=dp[k]+a[i]*b[k+1]
把a[t]代入得 dp[j]+a[i]+b[j+1]+v*b[j+1]<=dp[k]+a[i]*b[k+1]+v*b[k+1]
b[j+1]<=b[k+1]所以上式成立
决策具有单调性
证毕

dp[j]+(a[i]*b[j+1])<=dp[k]+(a[i]*b[k+1])

(dp[j]-dp[k])/(b[k+1]-b[j+1])<=a[i]

 #include<cstdio>

 #include<algorithm>

 #include<queue>

 #define ll long long

 #define N 500005

 using namespace std;

 ll dp[N];int q[N];

 struct square{ll l,w;bool operator <(const square &b)const{return l==b.l?w<b.w:l<b.l;}}a[N];

 ll G(int j,int k){return dp[j]-dp[k];}ll S(int j,int k){return a[k+].w-a[j+].w;}

 int main(){

     int n;

     scanf("%d",&n);

     for(int i=;i<=n;i++)scanf("%d%d",&a[i].l,&a[i].w);

     int tot=;sort(a+,a++n);

     for(int i=;i<=n;i++){

         while(tot>&&a[i].w>=a[tot].w)tot--;

         a[++tot]=a[i];

     }

     n=tot;

     int t=,h=;

     for(int i=;i<=n;i++){

         while(h+<t&&G(q[h+],q[h])<=S(q[h+],q[h])*a[i].l)h++;

         dp[i]=dp[q[h]]+a[i].l*a[q[h]+].w;

         while(h+<t&&G(i,q[t-])*S(q[t-],q[t-])<=G(q[t-],q[t-])*S(i,q[t-]))t--;

         q[t++]=i;

     }

     printf("%lld",dp[n]);

     return ;

 }

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