算法时间复杂度计算方法

判断一个算法的效率时，一般忽略掉函数中的常数和次要项，主要关注最高阶的阶数。

---

算法时间复杂度定义

算法的时间复杂度即算法的时间量度，记作：T(n)=O(f(n))。它表示随问题规模的 n 的扩大，算法执行时间的增长率和 f(n) 的增长率相同，叫做算法的渐进时间复杂度。其中 f(n) 是问题规模 n 的某个函数。

---

推导时间复杂度方法

• 用常数1取代运行时间中的所有加法常数
• 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项
• 如果最高阶项存在且不是1，则除去与最高阶项相乘的常数
• 得到的结果便为大O阶

常数阶

不论执行的常数次为多少，O(3)也好，O(100)也罢，时间复杂度都记作O(1)。

线性阶

O(n)，关键是要分析循环结构的运行情况。

对数阶

循环体中的条件和循环的判断条件相关，例如：

int count=1;
while (count<n){
    count=count*2;
}

这里假设循环运行 x 次，那么判断条件就变成了 count∗2x=n ，可以得到 x=log2n 。所以这个循环的时间复杂度为 O(log(n)) 。

平方阶

一般有循环嵌套。循环复杂度等于循环体的复杂度乘以该循环运行的次数。

int i,j;
for (i=0;i<n;i++){ for (j=i;j<n;j++){ ***** }
    }

当i=0时，循环体运行n次；
当i=1时，循环体运行n-1次；
当i=2时，循环体运行n-2次；
···
当i=n-1时，循环体运行1次。
所以，总共运行n+(n-1)+(n-2)+···+1=n*(n+1)/2。此循环体时间复杂度为 O(n∗(n+1)/2)=O(n2)

---

常见的时间复杂度

执行次函数	阶	非正式术语
12	O(1)	常数阶
2n+3	O(n)	线性阶
3n2+2n+1	O(n2)	平方阶
5logn2+20	O(logn)	对数阶
2n+3nlog2n+19	O(nlogn)	nlogn 阶
6n3+2n2+3n+4	O(n3)	立方阶
2n	O(2n)	指数阶

时间复杂度所耗费时间从小到大依次是：

O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n2)<O(n3)<O(2n)<O(n!)<O(nn)