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遗传算法
遗传算法是一种模拟自然界生物进化机制的优化算法，它通过模拟自然选择、交叉和变异等操作来寻找问题的最优解。
遗传算法通常包括以下步骤：
- 定义问题的目标函数和约束条件，以及变量的编码方式。
- 生成初始种群，即一组随机的可行解。
- 计算每个个体的适应度值，即目标函数的值。
- 选择操作，根据适应度值选择一部分个体进入下一代。
- 交叉操作，对选中的个体进行染色体的交换，产生新的个体。
- 变异操作，对某些个体的某些基因进行随机改变，增加种群的多样性。
- 重复3-6步，直到满足终止条件，如达到最大迭代次数或适应度值达到预设阈值。
- 输出最优解或最优解集。
MATLAB 实现遗传算法
MATLAB 中的遗传算法函数为 ga，其基本语法为：
[x,fval] = ga(fun,nvars,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,intcon)
其中，fun 为目标函数，nvars 为变量个数，A 为不等式约束系数矩阵，b 为不等式约束右端项，Aeq 为等式约束系数矩阵，beq 为等式约束右端项，lb 为变量下界，ub 为变量上界，nonlcon 为非线性约束函数，intcon 为整数变量的下标。
该函数可以求解线性规划、整数规划、非线性规划、混合整数规划等各种优化问题。
例1
求解以下非线性规划问题：
min f ( x ) = x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 + 8 \begin{equation} \min \quad f(x)=x_{1}^2+x_{2}^2+x_{3}^2+8 \end{equation} minf(x)=x12+x22+x32+8
s.t. { x 1 2 − x 2 + x 3 2 ≥ 0 x 1 + x 2 2 + x 3 3 ≤ 20 − x 1 − x 2 2 + 2 = 0 x 2 + 2 x 3 2 = 3 x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0 \begin{equation} \text { s.t. } \left\{ \begin{array}{c} x_{1}^2-x_{2}+x_{3}^2 \geq 0 \\ x_{1}+x_{2}^2+x_{3}^3 \leq 20 \\ -x_{1}-x_{2}^2+2 = 0 \\ x_{2}+2x_{3}^2 = 3 \\ x_{1}, x_{2}, x_{3} \geq 0 \end{array} \right. \end{equation} s.t. ⎩ ⎨ ⎧x12−x2+x32≥0x1+x22+x33≤20−x1−x22+2=0x2+2x32=3x1,x2,x3≥0
解
转换为标准形式：
min f ( x ) = x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 + 8 \begin{equation} \min \quad f(x)=x_{1}^2+x_{2}^2+x_{3}^2+8 \end{equation} minf(x)=x12+x22+x32+8
s.t. { − x 1 2 + x 2 − x 3 2 ≤ 0 x 1 + x 2 2 + x 3 3 − 20 ≤ 0 x 1 + x 2 2 − 2 = 0 x 2 + 2 x 3 2 − 3 = 0 x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0 \begin{equation} \text { s.t. } \left\{ \begin{array}{c} -x_{1}^2+x_{2}-x_{3}^2 \leq 0 \\ x_{1}+x_{2}^2+x_{3}^3-20 \leq 0 \\ x_{1}+x_{2}^2-2 = 0 \\ x_{2}+2x_{3}^2-3 = 0 \\ x_{1}, x_{2}, x_{3} \geq 0 \end{array} \right. \end{equation} s.t. ⎩ ⎨ ⎧−x12+x2−x32≤0x1+x22+x33−20≤0x1+x22−2=0x2+2x32−3=0x1,x2,x3≥0
定义目标函数：
function f = objfun(x)
f = x(1)^2 + x(2)^2 + x(3)^2 + 8;
end
定义非线性约束函数：
function [c,ceq] = nonlcon(x)
c = [-x(1)^2 + x(2) - x(3)^2; x(1) + x(2)^2 + x(3)^3 - 20];
ceq = [x(1) + x(2)^2 - 2; x(2) + 2*x(3)^2 - 3];
end
代码求解：
[x,fval] = ga(@objfun,3,[],[],[],[],[0,0,0],[],@nonlcon)
输出结果：
x =
0.5516 1.2035 0.9477
fval =
10.6508
例2
求解以下整数规划问题：
max
Z
=
4
x
1
+
3
y
1
+
5
y
2
\begin{equation} \max \quad Z=4x_{1}+3y_{1}+5y_{2} \end{equation}
maxZ=4x1+3y1+5y2
s.t.
{
y
1
,
y
2
are integers
2
x
1
+
y
1
+
3
y
2
≤
36
x
1
+
y
1
≥
8
x
1
+
y
2
≥
10
x
1
+
y
1
−
y
2
=
4
x
1
,
y
1
,
y
2
≥
0
\begin{equation} \text { s.t. } \left\{ \begin{array}{c} y_{1},y_{2} \text{ are integers} \\ 2 x_{1}+y_{1}+3y_{2} \leq 36 \\ x_{1}+y_{1} \geq 8 \\ x_{1}+y_{2} \geq 10 \\ x_{1}+y_{1}-y_{2} = 4 \\ x_{1}, y_{1}, y_{2} \geq 0 \end{array} \right. \end{equation}
s.t. ⎩
⎨
⎧y1,y2 are integers2x1+y1+3y2≤36x1+y1≥8x1+y2≥10x1+y1−y2=4x1,y1,y2≥0
解
转换为标准形式：
min
−
Z
=
−
4
x
1
−
3
y
1
−
5
y
2
\begin{equation} \min \quad -Z=-4x_{1}-3y_{1}-5y_{2} \end{equation}
min−Z=−4x1−3y1−5y2
s.t.
{
y
1
,
y
2
are integers
2
x
1
+
y
1
+
3
y
2
≤
36
−
x
1
−
y
1
≤
−
8
−
x
1
−
y
2
≤
−
10
x
1
+
y
1
−
y
2
=
4
x
1
,
y
1
,
y
2
≥
0
\begin{equation} \text { s.t. } \left\{ \begin{array}{c} y_{1},y_{2} \text{ are integers} \\ 2x_{1}+y_{1}+3y_{2} \leq 36 \\ -x_{1}-y_{1} \leq -8 \\ -x_{1}-y_{2} \leq -10 \\ x_{1}+y_{1}-y_{2} = 4 \\ x_{1}, y_{1}, y_{2} \geq 0 \end{array} \right. \end{equation}
s.t. ⎩
⎨
⎧y1,y2 are integers2x1+y1+3y2≤36−x1−y1≤−8−x1−y2≤−10x1+y1−y2=4x1,y1,y2≥0
代码求解：
fun = @(x) -4*x(1) - 3*x(2) - 5*x(3);
A = [2, 1, 3; -1, -1, 0; -1, 0, -1];
b = [36; -8; -10];
Aeq = [1, 1, -1];
beq = 4;
lb = [0, 0, 0];
ub = [];
intcon = [2, 3];
[x,fval] = ga(fun,3,A,b,Aeq,beq,lb,ub,[],intcon);
fval = -fval;
输出结果：
x =
4.0000 7.0000 7.0000
fval =
72.0000