[BZOJ]1046 上升序列(HAOI2007)

时间：2021-07-13 15:29:02

　　和字典序有关的题型啊。

Description

　　对于一个给定的S={a1,a2,a3,…,an},若有P={ax1,ax2,ax3,…,axm},满足(x1 < x2 < … < xm)且(ax1 < ax2 < … < axm)。那么就称P为S的一个上升序列。如果有多个P满足条件，那么我们想求字典序最小的那个。任务给出S序列，给出若干询问。对于第i个询问，求出长度为Li的上升序列，如有多个，求出字典序最小的那个（即首先x1最小，如果不唯一，再看x2最小……），如果不存在长度为Li的上升序列，则打印Impossible.

Input

　　第一行一个N，表示序列一共有N个元素第二行N个数，为a1,a2,…,an 第三行一个M，表示询问次数。下面接M行每行一个数L，表示要询问长度为L的上升序列。

Output

　　对于每个询问，如果对应的序列存在，则输出，否则打印Impossible。

Sample Input

　　6
　　3 4 1 2 3 6
　　3
　　6
　　4
　　5

Sample Output

　　Impossible
　　1 2 3 6
　　Impossible

HINT

　　N<=10000，M<=1000。

Solution

　　看到字典序和上升子序列DP，小C想起了APIO2009的那道convention。

　　（不要吐槽小C的做题顺序）

　　既然要取字典序最小的，那肯定就是从小的取起，能取就取。

　　那什么情况算是能取的呢？

　　设要取的上升序列长度为len，已经取了x个数，且最后一个数大小为last。

　　设我们当前要取的数的位置为i，数的大小为a[i]，以这个位置开头的最长上升子序列长度为d[i]。

　　那么如果a[i]>last且d[i]+x>=len那么i这个位置的数就能取，也就是必须取。

　　我们来分析为什么这两个条件可以决定这个数取不取。

　　　　a[i]>last是上升序列的必要条件，我们已经满足了last必须取，且上一个取last一定能构造出答案，所以从字典序最小的角度来说，我们不能用a[i]来替换last。

　　　　d[i]+x>=len则是能构造出长度为len的答案的充分条件，因为d[i]满足二分性，如果d[i]>=len-x，那么一定存在一个以a[i]开头长度为len-x的上升序列接在last后面，从字典序最小的角度来说，我们取它显然最优。

　　剩下就是求d[i]了嘛。求最长上升子序列谁不会啊？

　　其实是正常的字典序也好，还是这题的逗比字典序也好，用以上的思路都是可以做的。

　　时间复杂度O(nlogn+n*m)。

#include <cstdio>

#include <algorithm>

#include <cstring>

#include <vector>

#define MN 10005

#define MM 1005

using namespace std;

struct meg{int val,pos;}b[MM];

int f[MN],a[MN],p[MN],lb[MM],ans[MM][MN],t[MN<<];

int nin,n,m,MQ;

inline int read()

{

    int n=,f=; char c=getchar();

    while (c<'' || c>'') {if(c=='-')f=-; c=getchar();}

    while (c>='' && c<='') {n=n*+c-''; c=getchar();}

    return n*f;

}

void dfs(int depth,int x,int L,int R,int ps)

{

    register int i,j,dx,mx=L-;

    for (i=x;i<=n;++i)

    {

        if (a[i]<=ps) continue;

        dx=lower_bound(lb+,lb+m+,f[i]+depth)-lb-;

        if (dx>mx)

        {

            for (j=mx+;j<=dx;++j) ans[b[j].pos][depth]=a[i],mx=lb[j]==depth?j:mx;

            if (dx>mx) {dfs(depth+,i+,mx+,dx,a[i]); mx=dx;}

            if (mx==R) break;

        }

    }

}

inline void getad(int x,int z) {for (x+=MQ;x&&z>t[x];x>>=) t[x]=z;}

inline int getmx(int L,int R)

{

    if (L>R) return ;

    register int lt=;

    for (L+=MQ,R+=MQ;L<=R;L>>=,R>>=)

    {

        if ( L&) lt=max(lt,t[L++]);

        if (~R&) lt=max(lt,t[R--]);

    }

    return lt;

}

bool cmp(const meg& a,const meg& b) {return a.val<b.val;}

int main()

{

    register int i,j;

    n=read();

    for (i=;i<=n;++i) a[i]=p[i]=read();

    sort(p+,p+n+);

    nin=unique(p+,p+n+)-p-;

    for (i=;i<=n;++i) a[i]=lower_bound(p+,p+nin+,a[i])-p;

    for (MQ=;MQ<nin;MQ<<=); --MQ;

    for (i=n;i;--i) f[i]=getmx(a[i]+,nin)+,getad(a[i],f[i]);

    m=read();

    for (i=;i<=m;++i) b[i].val=read(),b[i].pos=i;

    sort(b+,b+m+,cmp);

    for (i=;i<=m;++i) lb[i]=b[i].val;

    dfs(,,,m,);

    for (i=;i<=m;++i)

    {

        if (!ans[i][]) {puts("Impossible"); continue;}

        printf("%d",p[ans[i][]]);

        for (j=;ans[i][j];++j) printf(" %d",p[ans[i][j]]); puts("");

    }

}

Last Word

　　不知道为什么突然想把询问排序然后一起做想降低常数，不过常数好像更大了233。

　　因为看错字典序的缘故，小C的代码画风有点崩坏……（其实本来就很崩）

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