最长上升子序列 bzoj-3173
题目大意：有1-n，n个数，第i次操作是将i加入到原有序列中制定的位置，后查询当前序列中最长上升子序列长度。
注释：1<=n<=10,000，开始序列为空。
具体的非旋转Treap的讲解：讲解链接
想法：显然，我们发现，我每次加入的数一定是当前序列中最大的，所以，刚刚加入的i，要么是当前序列中LIS的结尾，要么不属于LIS。根据这个性质，我们想到：在Treap中维护这样的性质，就是维护每个数加入节点的编号。然后，我们更新新节点的方式就是它的左子树和右子树的LIS取最大+1。其实最重要的就是如何加入这个新的节点？我们引进非旋转Treap。
非旋转Treap在结构上和Treap一样，都是维护平衡的BST。但是，非旋转Treap在实现上更加暴力和简单。有两个操作，撕裂和合并。
撕裂？就是去除BST上的一条边，使得原来的非旋转Treap变成两颗树。这样我们就可以对于撕裂开的新子树进行一些单独的处理。例如我们可以撕裂两次，得到一段区间，那么在进行区间反转时就可以仅仅维护一段子树就可以了。
合并？就是将撕裂之后的子树进行合并即可。这样的话我们对于BST节点的一个权值是随机的，所以我们在合并时还要维护Treap的基本性质。
这道题的实现和理解无疑是非旋转Treap的裸题，但是非旋转Treap强大的地方已经得到体现。
最后，附上丑陋的代码... ...
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 300100
#define mp make_pair
using namespace std;
typedef pair<int,int> par;
int n;
int maxx[N],lis[N],size[N],ls[N],rs[N],key[N];
//maxx表示当前节点子树的LIS的长度
//lis表示当前子树中以当前节点结尾的不下降子序列长度
int root;
void update(int x)//这是向上更新
{
maxx[x]=lis[x];
size[x]=size[ls[x]]+size[rs[x]]+1;
maxx[x]=max(maxx[x],max(maxx[ls[x]],maxx[rs[x]]));
}
int lson,rson;
par split(int x,int k)//撕裂操作，返回的是撕裂后两棵新树的根节点，用pair来存储
{
if(!k) return mp(0,x);
lson=ls[x],rson=rs[x];par t;
if(k==size[ls[x]])
{
ls[x]=0;update(x);
return mp(lson,x);
}
if(k==size[ls[x]]+1)
{
rs[x]=0;update(x);
return mp(x,rson);
}
if(k<size[ls[x]])
{
t=split(lson,k);
ls[x]=t.second;update(x);
return mp(t.first,x);
}
t=split(rson,k-size[ls[x]]-1);
rs[x]=t.first;update(x);
return mp(x,t.second);
}
int merge(int x,int y)//合并操作，返回的是合并之后的新树的根节点
{
if(!x|!y)
{
return x|y;
}
if(key[x]<key[y])
{
ls[y]=merge(x,ls[y]);update(y);
return y;
}
rs[x]=merge(rs[x],y);update(x);
return x;
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
int ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int x;
scanf("%d",&x);
size[i]=1;
key[i]=rand()*rand();
par t1;
t1=split(root,x);
lis[i]=maxx[i]=maxx[t1.first]+1;
ans=max(ans,lis[i]);
printf("%d\n",ans);
root=merge(merge(t1.first,i),t1.second);
}
return 0;
}
小结：非旋转Treap相较于Treap所涉及的范围更广，但虽然代码量有所下降，但是细节更多，难度更大。
错误：split的!k是要进行特判的，不然会死递归。